Objetivos didácticos

Al final de este capítulo el estudiante podrá:

• Comprender y utilizar la terminología de la probabilidad.
• Determinar si dos eventos son mutuamente excluyentes y si dos eventos son independientes.
• Calcular las probabilidades utilizando las reglas de adición y de multiplicación.
• Construir e interpretar tablas de contingencia.
• Construir e interpretar diagramas de Venn.
• Construir e interpretar diagramas de árbol.

Introducción

A menudo es necesario “estimar” el resultado de un evento para tomar una decisión. Los políticos estudian los sondeos para estimar sus posibilidades de ganar unas elecciones. Los maestros eligen un curso de estudio particular con base en lo que creen que los estudiantes pueden comprender. Los médicos eligen los tratamientos necesarios para las distintas enfermedades con base en su evaluación de los resultados probables. Es posible que haya visitado un casino en el que las personas participan en juegos elegidos por la creencia de que la probabilidad de ganar es buena. Es posible que haya elegido sus estudios según la probable disponibilidad de trabajo.

Es más que posible que haya utilizado la probabilidad. De hecho, posiblemente tenga un sentido intuitivo de la probabilidad. La probabilidad se refiere a la posibilidad de que se produzca un evento. Cada vez que sopesa las probabilidades de hacer o no la tarea para la casa o de estudiar para un examen está utilizando la probabilidad. En este capítulo aprenderá a resolver problemas de probabilidad mediante un enfoque sistemático.

Contenidos temáticos

1. Terminología
2. Eventos mutuamente excluyentes e independientes
3. Dos reglas básicas de la probabilidad
4. Tablas de contingencia
5. Diagramas de árbol y de Venn

Desarrollo del tema

1. Terminología

La probabilidad es una medida asociada a la certeza de los resultados de un determinado experimento o actividad. Un experimento es una operación planificada que se realiza en condiciones controladas. Si el resultado no está predeterminado, se dice que el experimento es fortuito. Lanzar una moneda imparcial dos veces es un ejemplo de experimento.

El producto de un experimento se llama resultado. El espacio muestral de un experimento es el conjunto de todos los resultados posibles. Tres formas de representar un espacio muestral son: hacer una lista de los posibles resultados, crear un diagrama de árbol o crear un diagrama de Venn. La letra S mayúscula se utiliza para denotar el espacio muestral. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial, S = {H, T} donde H = cara y T = cruz son los resultados.

Un evento es cualquier combinación de resultados. Las letras mayúsculas como A y B representan eventos. Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar una moneda imparcial, el evento A podría obtener como máximo una cara. La probabilidad de un evento A se escribe P(A).

La probabilidad de cualquier resultado es la frecuencia relativa a largo plazo de ese resultado. Las probabilidades están comprendidas entre el cero y el uno, ambos inclusive (es decir, el cero y el uno y todos los números entre estos valores). P(A) = 0 significa que el evento A no puede ocurrir nunca. P(A) = 1 significa que el evento A siempre ocurre. P(A) = 0,5 significa que el evento A tiene la misma probabilidad de ocurrir que de no ocurrir. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial repetidamente (de 20 a 2.000 a 20.000 veces) la frecuencia relativa de caras se acerca a 0,5 (la probabilidad de cara).

Igual de probable significa que cada resultado de un experimento ocurre con igual probabilidad. Por ejemplo, si se lanza un dado imparcial de seis lados, cada lado (1, 2, 3, 4, 5 o 6) tiene la misma probabilidad de caer que cualquier otro. Si se lanza una moneda imparcial, hay la misma probabilidad de que salga cara (H) que de que salga cruz (T). Si estima al azar la respuesta a una pregunta de verdadero-falso en un examen, tiene la misma probabilidad de seleccionar una respuesta correcta o una incorrecta.

Para calcular la probabilidad de un evento A cuando todos los resultados del espacio muestral son igualmente probables, cuente el número de resultados del evento A y divídalo entre el número total de resultados del espacio muestral. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial de diez centavos y una moneda justa de cinco centavos, el espacio muestral es {HH, TH, HT, TT} donde T = cruz y H = cara. El espacio muestral tiene cuatro resultados. A = obtener una cara. Hay dos resultados que cumplen esta condición {HT, TH}, por lo que:

Supongamos que lanza un dado imparcial de seis lados, con los números {1, 2, 3, 4, 5, 6} en sus lados. Supongamos que el evento E = lanzar un número que sea al menos cinco.

Si lanzara el dado solo unas pocas veces, no te sorprendas si los resultados observados no coinciden con la probabilidad. Si se lanzara el dado un gran número de veces, se esperaría eso, en general,

de las lanzadas daría un resultado de “al menos cinco”. No se puede esperar exactamente

La frecuencia relativa a largo plazo de obtener este resultado se acerca a la probabilidad teórica de

a medida que el número de repeticiones aumenta.

Esta importante característica de los experimentos probabilísticos se conoce como la ley de los grandes números, que establece que, a medida que aumenta el número de repeticiones de un experimento, la frecuencia relativa obtenida tiende a acercarse cada vez más a la probabilidad teórica. Aunque los resultados no se produzcan según un patrón u orden determinado, en general, la frecuencia relativa observada a largo plazo se acerca a la probabilidad teórica (a menudo se utiliza la palabra empírica en vez de la palabra observado).

Es importante darse cuenta de que, en muchas situaciones, los resultados no son igualmente probables. Una moneda o un dado pueden ser desiguales o sesgados. Dos profesores de Matemáticas de Europa hicieron que sus estudiantes de Estadística probaran la moneda belga de un euro y descubrieron que, en 250 ensayos, se obtenía una cara el 56 % de las veces y una cruz el 44 %. Los datos parecen mostrar que la moneda no es imparcial; más repeticiones serían útiles para obtener una conclusión más precisa sobre dicho sesgo.

Algunos dados pueden estar sesgados. Observa los dados de un juego que tengas en casa; los puntos de cada lado suelen ser pequeños agujeros tallados y luego pintados para que sean visibles. Tus dados pueden o no estar sesgados; es posible que los resultados se vean afectados por las ligeras diferencias de peso debido al diferente número de agujeros en las caras. Los casinos ganan mucho dinero dependiendo de los resultados de los dados, por lo que los dados de los casinos se fabrican de forma diferente para eliminar el sesgo. Los dados de casino tienen lados planos; los agujeros se rellenan completamente con pintura de la misma densidad que el material del que están hechos los dados, de modo que cada cara tiene la misma probabilidad de ocurrir. Más adelante aprenderemos técnicas para trabajar con probabilidades para eventos que no son igualmente probables.

Evento «O»:

Un resultado está en el evento A O B si el resultado está en A o está en B o está tanto en A como en B. Por ejemplo, supongamos que A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {4, 5, 6, 7, 8}. A O B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Observe que el 4 y el 5 NO aparecen dos veces en la lista.

Evento «Y»:

Un resultado está en el evento A Y B si el resultado está en A y B al mismo tiempo. Por ejemplo, que A y B sean {1, 2, 3, 4, 5} y {4, 5, 6, 7, 8}, respectivamente. Entonces A Y B = {4, 5}.

El complemento del evento A se denomina A′ (léase “A prima”). A′ consiste en todos los resultados que NO están en A. Observe que P(A) + P(A′) = 1. Por ejemplo, supongamos que S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y que A = {1, 2, 3, 4}. Entonces,

La probabilidad condicional de A dada B se escribe P(A|B). P(A|B) es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ya ha ocurrido. Un condicional reduce el espacio muestral. Calculamos la probabilidad de A a partir del espacio muestral reducido B. La fórmula para calcular P(A|B) es P(A|B) =

donde P(B) es mayor que cero.

Por ejemplo, supongamos que lanzamos un dado imparcial de seis lados. El espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Supongamos que A = el lado es 2 o 3 y B = el lado es par (2, 4, 6). Para calcular P(A|B) contamos el número de resultados 2 o 3 en el espacio muestral B = {2, 4, 6}. Luego lo dividimos entre el número de resultados B (en vez de S).

Obtenemos el mismo resultado utilizando la fórmula. Recuerde que S tiene seis resultados.

Entender la terminología y los símbolos

Es importante leer detenidamente cada problema para reflexionar y comprender los eventos. Entender el enunciado es el primer paso muy importante para resolver problemas de probabilidad. Vuelva a leer el problema varias veces si es necesario. Identifique claramente el evento de interés. Determine si hay una condición establecida en el enunciado que indique que la probabilidad es condicional; identifique cuidadosamente la condición, si la hay.

Ejemplo:

Se lanza un dado imparcial de seis lados. Describa el espacio muestral S, identifique cada uno de los siguientes eventos con un subconjunto de S y calcule su probabilidad (un resultado es el número de puntos que aparecen).

a. Evento T = el resultado es dos.
b. Evento A = el resultado es un número par.
c. Evento B = el resultado es inferior a cuatro.
d. El complemento de A.
e. A DADO B
f. B DADO A
g. A Y B
h. A O B
i. A O B′
j. Evento N = el resultado es un número primo.
k. Evento I = el resultado es siete.

Solución

2. Eventos mutuamente excluyentes e independientes

Independiente y mutuamente excluyente no significan lo mismo.

Eventos independientes
Dos eventos son independientes si lo siguiente es cierto:

• P(A|B) = P(A)
• P(B|A) = P(B)
• P(A Y B) = P(A)P(B)

Dos eventos A y B son independientes si el conocimiento de que uno ha ocurrido no afecta la posibilidad de que ocurra el otro. Por ejemplo, los resultados de lanzar dos veces un dado imparcial son eventos independientes. El resultado de la primera lanzada no cambia la probabilidad del resultado de la segunda. Para demostrar que dos eventos son independientes, debe mostrar solo una de las condiciones anteriores. Si dos eventos NO son independientes, decimos que son dependientes.

El muestreo se puede hacer con reemplazo o sin reemplazo.

• Con reemplazo: si cada miembro de una población es reemplazado después de ser elegido, entonces ese miembro tiene la posibilidad de ser elegido más de una vez. Cuando el muestreo se hace con reemplazo, los eventos se consideran independientes, lo que significa que el resultado de la primera elección no cambiará las probabilidades de la segunda.
• Sin reemplazo: cuando el muestreo se hace sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez. En este caso, las probabilidades de la segunda elección se ven afectadas por el resultado de la primera. Los eventos se consideran dependientes o no independientes.

Si no se sabe si A y B son independientes o dependientes, suponga que son dependientes hasta que pueda demostrar lo contrario.

Ejemplo:

Tiene un mazo de cartas imparcial y bien mezclado de 52 cartas. Consta de cuatro palos. Los palos son tréboles, diamantes, corazones y picas. Hay 13 cartas en cada palo que consisten en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (sota), Q (reina) y K (rey) de ese palo. P = picas, C = corazones, D = diamantes T = tréboles.

a) Supongamos que saca cuatro cartas, pero no vuelve a poner ninguna en el mazo. Sus cartas son QP, 1D, 1T, QD.
b) Supongamos que toma cuatro cartas y devuelve cada una de ellas antes de tomar la siguiente. Sus cartas son KC, 7D, 6D, KC.

¿Cuál de a. o b. se muestreó con reemplazo y cuál se muestreó sin reemplazo?

Solución:

a. Sin reemplazo; b. Con reemplazo

Eventos mutuamente excluyentes

A y B son eventos mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo. Esto significa que A y B no comparten ningún resultado y P(A Y B) = 0.

Por ejemplo, supongamos que el espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Supongamos que A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8}, y C = {7, 9}. A Y B = {4, 5}. P(A Y B) = 2/10 y no es igual a cero. Por lo tanto, A y B no son mutuamente excluyentes. A y C no tienen ningún número en común por lo que P(A Y C) = 0. Por lo tanto, A y C son mutuamente excluyentes.

Si no se sabe si A y B son mutuamente excluyentes, suponga que no lo son hasta que pueda demostrar lo contrario. Los siguientes ejemplos ilustran estas definiciones y términos.

Ejemplo:

En una clase en el instituto universitario, el 60 % de los estudiantes son mujeres. El cincuenta por ciento de los estudiantes de la clase tienen el cabello largo. El cuarenta y cinco por ciento de los estudiantes son mujeres y tienen el cabello largo. De las estudiantes, el 75 % tiene el cabello largo. Supongamos que F es el evento en el que un estudiante es mujer. Supongamos que L es el evento en el que un estudiante tiene el cabello largo. Se elige un estudiante al azar. ¿Los hechos de ser mujer y tener el cabello largo son independientes?

En este ejemplo se dan las siguientes probabilidades:

• P(F) = 0,60; P(L) = 0,50
• P(F Y L) = 0,45
• P(L|F) = 0,75

NOTA. La elección que haga depende de la información que tenga. Para este ejemplo puede utilizar la primera o la última condición de la lista. Todavía no conoce P(F|L), por lo que no puede utilizar la segunda condición.

Solución:

Comprueba si P(F Y L) = P(F)P(L). Se nos ha dado que P(F Y L) = 0,45, pero P(F)P(L) = (0,60)(0,50) = 0,30. Los eventos de ser mujer y tener el pelo largo no son independientes porque P(F Y L) no es igual a P(F)P(L).

Comprueba si P(L|F) es igual a P(L). Nos dan que P(L|F) = 0,75, pero P(L) = 0,50; no son iguales. Los eventos de ser mujer y tener el cabello largo no son independientes.

Los eventos de ser mujer y tener el cabello largo no son independientes; saber que un estudiante es mujer cambia la probabilidad de que un estudiante tenga el cabello largo.

3. Dos reglas básicas de la probabilidad

Al calcular la probabilidad, hay que tener en cuenta dos reglas para determinar si dos eventos son independientes o dependientes y si son mutuamente excluyentes o no.

La regla de multiplicación

Si A y B son dos eventos definidos en un espacio muestral, entonces: P(A Y B) = P(B)P(A|B). Esta regla también puede escribirse como: 

(La probabilidad de A dada B es igual a la probabilidad de A y B dividida por la probabilidad de B).
Si A y B son independientes, entonces P(A|B) = P(A). Entonces P(A Y B) = P(A|B)P(B) se convierte en P(A Y B) = P(A)P(B).

La regla de adición

Si A y B están definidos en un espacio muestral, entonces: P(A O B) = P(A) + P(B) – P(A Y B).
Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces P(A Y B) = 0. Entonces P(A O B) = P(A) + P(B) – P(A Y B) se convierte en P(A O B) = P(A) + P(B).

Ejemplo:

Carlos juega fútbol universitario. Hace un gol el 65 % de las veces que chuta. Carlos va a intentar marcar dos goles seguidos en el próximo partido. A = el evento en el que Carlos acierta en su primer intento. P(A) = 0,65. B = el evento en el que Carlos acierta en su segundo intento. P(B) = 0,65. Carlos tiende a chutar en líneas. La probabilidad de que haga el segundo gol DADO que hizo el primero, es de 0,90

a. ¿Cuál es la probabilidad de que anote ambos goles?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que Carlos anote el primer gol o el segundo?
c. ¿A y B son independientes?
d. ¿A y B son mutuamente excluyentes?

Solución:

a. El problema le pide que calcule P(A “Y” B) = P(B “Y” A). Ya que P(B|A) = 0,90: P(B Y A) = P(B|A) P(A) = (0,90)(0,65) = 0,585

Carlos anota el primero y el segundo goles con una probabilidad de 0,585.

b. El problema le pide que calcule P(A O B).
P(A O B) = P(A) + P(B) – P(A Y B) = 0,65 + 0,65 – 0,585 = 0,715
Carlos anota el primer gol o el segundo con una probabilidad de 0,715.

c. No, no lo son, porque P(B Y A) = 0,585.
P(B)P(A) = (0,65)(0,65) = 0,423
0,423 ≠ 0,585 = P(B Y A)
Por tanto, P(B Y A) no es igual a P(B)P(A).

d. No, no lo son porque P(A y B) = 0,585.
Para que sean mutuamente excluyentes, P(A Y B) debe ser igual a cero.

4. Tablas de contingencia

Una tabla de contingencia proporciona una forma de representar los datos que puede facilitar el cálculo de probabilidades. La tabla ayuda a determinar las probabilidades condicionales con bastante facilidad. La tabla muestra los valores de la muestra en relación con dos variables diferentes que pueden ser dependientes o contingentes entre sí. Más adelante volveremos a utilizar las tablas de contingencia, pero de otra manera.

Ejemplo:

Supongamos que un estudio sobre infracciones de velocidad y conductores que utilizan teléfonos móviles arroja los siguientes datos ficticios:

El número total de personas de la muestra es de 755. Los totales de las filas son 305 y 450. Los totales de las columnas son 70 y 685. Tome en cuenta que 305 + 450 = 755 y 70 + 685 = 755.

Use la tabla para calcular las siguientes probabilidades.

a. Calcule P(El conductor es un usuario de teléfono móvil).
b. Calcule P(el conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado).
c. Calcule P(El conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado Y era usuario de teléfono móvil).
d. Calcule P(El conductor es un usuario de teléfono móvil O el conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado).
e. Calcule P(El conductor es un usuario de teléfono móvil DADO que el conductor tuvo una infracción durante el año pasado).
f. Calcule P(El conductor no tuvo ninguna infracción el año pasado DADO que el conductor no usaba el teléfono móvil).

Solución:

5. Diagramas de árbol y de Venn

A veces, cuando los problemas de probabilidad son complejos, puede ser útil hacer un gráfico de la situación. Los diagramas de árbol y los diagramas de Venn son dos herramientas que pueden utilizarse para visualizar y resolver las probabilidades condicionales.

Diagramas de árbol

Un diagrama de árbol es un tipo especial de gráfico utilizado para determinar los resultados de un experimento. Consta de “ramas” que se identifican con frecuencias o probabilidades. Los diagramas de árbol pueden hacer que algunos problemas de probabilidad sean más fáciles de visualizar y resolver. El siguiente ejemplo ilustra cómo utilizar un diagrama de árbol.

Ejemplo:

En una urna hay 11 pelotas. Tres pelotas son rojas (R) y ocho azules(B). Saque dos pelotas, una a la vez, con reemplazo. “Con reemplazo” significa que se devuelve la primera pelota a la urna antes de seleccionar la segunda. Luego, el diagrama de árbol con frecuencias que muestra todos los resultados posibles.

El primer conjunto de ramas representa la primera pelota que sacó. El segundo conjunto de ramas representa la segunda. Cada uno de los resultados es distinto. De hecho, podemos enumerar cada pelota roja como R1, R2 y R3 y cada pelota azul como B1, B2, B3, B4, B5, B6, B7 y B8. Entonces, los nueve resultados de RR se pueden escribir como:

R1R1; R1R2; R1R3; R2R1; R2R2; R2R3; R3R1; R3R2; R3R3

Los demás resultados son similares.

Hay un total de 11 pelotas en la urna. Saque dos pelotas, una a la vez, con reemplazo. Hay 11(11) = 121 resultados, el tamaño del espacio muestral.

a. Enumere los 24 resultados de RB: B1R1, B1R2, B1R3, …
b. Use el diagrama de árbol y calcule P(RR).
c. Utilizando el diagrama de árbol, calcule P(RB O BR).
d. Utilizando el diagrama de árbol, calcule P(R en la primera extracción Y B en la segunda).
e. Utilizando el diagrama de árbol, calcule P(R en la segunda extracción DADO B en la primera extracción).
f. Use el diagrama de árbol y calcule P(BB).
g. Utilizando el diagrama de árbol, calcule P(B en la segunda extracción dado R en la primera extracción).

Solución:

Diagrama de Venn

Un diagrama de Venn es una imagen que representa los resultados de un experimento. Generalmente consiste en un recuadro que representa el espacio muestral S junto con círculos u óvalos. Los círculos u óvalos representan eventos.

El círculo “O” representa a los afroamericanos con sangre del tipo O. El óvalo “Rh–” representa a los afroamericanos con el factor Rh–.

Tomaremos el promedio del 5 % y del 10 % y utilizaremos el 7,5 % como el porcentaje de afroamericanos que tienen el factor Rh–. Supongamos que O = afroamericano con sangre tipo O y R = afroamericano con factor Rh–.

a. P(O) = ______________________
b. P(R) = ______________________
c. P(O Y R) = __________________
d. P(O O R) = __________________
e. En el diagrama de Venn, describa con una oración completa la zona de solapamiento.
f. En el diagrama de Venn, describa con una oración completa el área que se encuentra en el rectángulo pero fuera del círculo y del óvalo.

Solución:

a. 0,51;
b. 0,075;
c. 0,04;
d. 0,545;
e. El área representa a los afroamericanos que tienen sangre del tipo O y el factor Rh–.
f. La zona representa a los afroamericanos que no tienen sangre del tipo O ni el factor Rh–.

Fuente y licenciamiento

• OpenStax (2022). Introducción al estadística. OpenStax https://openstax.org/books/introducci%C3%B3n-estad%C3%ADstica/
• De OpenStax bajo licencia Creative Commons Attribution License v4.0