Objetivos didácticos

Al final de este capítulo el estudiante podrá:

• Reconocer y comprender las funciones de densidad de probabilidad continuas en general.
• Reconocer la distribución de probabilidad uniforme y aplicarla adecuadamente.
• Reconocer la distribución de probabilidad exponencial y aplicarla adecuadamente.

Introducción

Las variables aleatorias continuas tienen muchas aplicaciones. Los promedios de bateo en béisbol, las puntuaciones de CI (coeficiente intelectual), el tiempo que dura una llamada telefónica de larga distancia, la cantidad de dinero que lleva una persona, el tiempo que dura un chip de computadora y las puntuaciones de la prueba de aptitud académica (Scholastic Aptitude Test, SAT) son solo algunos de ellos. El campo de la fiabilidad depende de una serie de variables aleatorias continuas.

Desarrollo del tema

Propiedades de las distribuciones de probabilidad continuas

El gráfico de una distribución de probabilidad continua es una curva. La probabilidad se representa mediante el área que está debajo de la curva.

La curva se denomina función de densidad de probabilidad (abreviada como pdf). Utilizamos el símbolo f(x) para representar la curva. f(x) es la función que corresponde al gráfico; utilizamos la función de densidad f(x) para dibujar el gráfico de la distribución de probabilidad.

El área debajo de la curva viene dada por una función diferente llamada función de distribución acumulativa (cdf). La función de distribución acumulativa se utiliza para evaluar la probabilidad como área.

• Los resultados se miden, no se cuentan.
• Toda el área debajo de la curva y sobre el eje x es igual a uno.
• La probabilidad se calcula para intervalos de valores de x en vez de para valores individuales de x.
• P(c < x < d) es la probabilidad de que la variable aleatoria X se calcule en el intervalo entre los valores c y d. P(c < x < d) es el área debajo de la curva, por encima del eje x, a la derecha de c y a la izquierda de d.
• P(x = c) = 0 significa que es la probabilidad de que x tome cualquier valor individual es cero. El área por debajo de la curva, por encima del eje x y entre x = c y x = c no tiene ancho, y por tanto no tiene área (área = 0). Como la probabilidad es igual al área, la probabilidad también es cero.
• P(c < x < d) es lo mismo que P(c ≤ x ≤ d) porque la probabilidad es igual al área.

Hallaremos el área que representa la probabilidad mediante geometría, fórmulas, tecnología o tablas de probabilidad. En general, es necesario el cálculo para hallar el área bajo la curva de muchas funciones de densidad de probabilidad. Cuando usamos fórmulas para hallar el área en este libro de texto, las fórmulas fueron halladas mediante técnicas del cálculo integral. Sin embargo, debido a que la mayoría de los estudiantes que toman este curso no han estudiado cálculo, no utilizaremos el cálculo en este libro de texto.

Hay muchas distribuciones de probabilidad continuas. Cuando se utiliza una distribución de probabilidad continua para modelar la probabilidad, la distribución utilizada se selecciona para modelar y ajustarse a la situación particular de la mejor manera.

En este capítulo y en el siguiente estudiaremos la distribución uniforme, la exponencial y la normal. Los siguientes gráficos ilustran estas distribuciones.

Funciones de probabilidad continuas

Comenzamos definiendo una función de densidad de probabilidad continua. Utilizamos la notación de función f(x). El álgebra intermedia puede haber sido su primera introducción formal a las funciones. En el estudio de la probabilidad, las funciones que estudiamos son especiales. Definimos la función f(x) de forma que el área entre ella y el eje x sea igual a una probabilidad. Como la probabilidad máxima es uno, el área máxima también es uno. Para distribuciones de probabilidad continuas, PROBABILIDAD = ÁREA.

La distribución uniforme

La distribución uniforme es una distribución de probabilidad continua y se refiere a eventos que tienen la misma probabilidad de ocurrir. Cuando se resuelven problemas que tienen una distribución uniforme, hay que tener en cuenta si los datos son inclusivos o exclusivos de los extremos.

Ejemplo:

La distribución exponencial

La distribución exponencial suele referirse a la cantidad de tiempo que transcurre hasta que se produce algún evento específico. Por ejemplo, la cantidad de tiempo (que comienza ahora) hasta que se produzca un terremoto tiene una distribución exponencial. Otros ejemplos son la duración, en minutos, de las llamadas telefónicas comerciales de larga distancia, y la cantidad de tiempo, en meses, que dura la batería de un auto. También se puede demostrar que el valor del cambio que se tiene en el bolsillo o en el monedero sigue una distribución exponencial aproximadamente.

Los valores de una variable aleatoria exponencial se producen de la siguiente manera. Hay menos valores grandes y más valores pequeños. Por ejemplo, la cantidad de dinero que los clientes gastan en un viaje al supermercado sigue una distribución exponencial. Hay más gente que gasta pequeñas cantidades de dinero y menos gente que gasta grandes cantidades de dinero.

Las distribuciones exponenciales se utilizan habitualmente en cálculos de fiabilidad de productos, es decir, el tiempo que dura un producto.

La falta de memoria de la distribución exponencial

En el Ejemplo anterior recordemos que la cantidad de tiempo entre clientes se distribuye exponencialmente con una media de dos minutos (X ~ Exp (0,5)). Supongamos que han pasado cinco minutos desde que llegó el último cliente. Dado que ha transcurrido un tiempo inusualmente largo, parece más probable que un cliente llegue durante el próximo minuto. Con la distribución exponencial, esto no es así: el tiempo adicional de espera del siguiente cliente no depende del tiempo que haya transcurrido desde el último cliente. Esto se conoce como la propiedad de falta de memoria. Específicamente, la propiedad de falta de memoria dice que

P (X > r + t | X > r) = P (X > t) para todo r ≥ 0 y t ≥ 0

Por ejemplo, si han transcurrido cinco minutos desde la llegada del último cliente, la probabilidad de que transcurra más de un minuto antes de que llegue el siguiente cliente se calcula utilizando r = 5 y t = 1 en la ecuación anterior.

P(X > 5 + 1 | X > 5) = P(X > 1) = e(–0,5)(1) ≈ 0,6065.

Es la misma probabilidad que la de esperar más de un minuto a que llegue un cliente después de la llegada anterior.

La distribución exponencial se utiliza a menudo para modelar la longevidad de un dispositivo eléctrico o mecánico. En el siguiente ejemplo:

En promedio, un par de zapatillas para correr puede durar 18 meses si se usan a diario. La duración de las zapatillas de correr se distribuye exponencialmente. ¿Cuál es la probabilidad de que un par de zapatillas para correr dure más de 15 meses? En promedio, ¿cuánto durarían seis pares de zapatillas para correr si se usan una tras otra? ¿Cuánto tiempo duran como máximo el ochenta por ciento de las zapatillas de correr si se usan todos los días?

La vida útil de una determinada pieza de una computadora tiene la distribución exponencial con una media de diez años (X~ Exp(0,1)). La propiedad de falta de memoria dice que el conocimiento de lo que ha ocurrido en el pasado no tiene ningún efecto sobre probabilidades futuras. En este caso, significa que una pieza usada no tiene más probabilidades de estropearse en un momento determinado que una pieza nueva. En otras palabras, la pieza se mantiene como nueva hasta que se rompe de repente. Por ejemplo, si la pieza ya ha durado diez años, la probabilidad de que dure otros siete es P(X > 17|X > 10) = P(X > 7) = 0,4966.

Relación entre la distribución de Poisson y la distribución exponencial

Existe una relación interesante entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson. Supongamos que el tiempo que transcurre entre dos eventos sucesivos sigue la distribución exponencial con una media de μ unidades de tiempo. También se supone que estos tiempos son independientes, lo que significa que el tiempo entre eventos no se ve afectado por los tiempos entre eventos anteriores. Si se cumplen estos supuestos, el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson con media λ = 1/μ. Recordemos del capítulo de Variables aleatorias discretas que si X tiene la distribución de Poisson con media λ, entonces:

Por el contrario, si el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson, entonces la cantidad de tiempo entre eventos sigue la distribución exponencial.(k! = k(k–1)(k–2)(k–3)…321).

Ejemplo:

En una comisaría de Policía de una gran ciudad las llamadas llegan a una tasa promedio de cuatro llamadas por minuto. Supongamos que el tiempo que transcurre entre una llamada y la siguiente tiene la distribución exponencial. Hay que tener en cuenta que solo nos preocupa el ritmo de entrada de las llamadas, y que ignoramos el tiempo que se pasa al teléfono. También debemos suponer que los tiempos transcurridos entre las llamadas son independientes. Esto significa que un retraso particularmente largo entre dos llamadas no significa que habrá un periodo de espera más corto para la siguiente llamada. Podemos deducir entonces que el número total de llamadas recibidas durante un periodo tiene la distribución de Poisson.

• Calcular el tiempo promedio entre dos llamadas sucesivas.
• Calcular la probabilidad de que después de recibir una llamada, la siguiente se produzca en menos de diez segundos.
• Calcular la probabilidad de que se produzcan exactamente cinco llamadas en un minuto.
• Calcular la probabilidad de que se produzcan menos de cinco llamadas en un minuto.
• Calcular la probabilidad de que se produzcan más de 40 llamadas en un periodo de ocho minutos.

Solución:

Fuente y licenciamiento

• OpenStax (2022). Introducción al estadística. OpenStax https://openstax.org/books/introducci%C3%B3n-estad%C3%ADstica/
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