Objetivos didácticos

Al final de este tema el estudiante podrá:

• Reconocer la distribución de probabilidad normal y aplicarla adecuadamente.
• Reconocer la distribución de probabilidad normal estándar y aplicarla adecuadamente.

Introducción

La normal, una distribución continua, es la más importante de todas las distribuciones. Su uso está muy extendido y su abuso aun más. Su gráfico tiene forma de campana. La curva de campana se ve en casi todas las disciplinas. Algunas de ellas son Psicología, Negocios, Economía, Ciencias, Enfermería y, por supuesto, Matemáticas. Algunos de sus instructores pueden utilizar la distribución normal para ayudar a determinar su calificación. La mayoría de las calificaciones de coeficiente intelectual (Intelligence Quotient, IQ) se distribuyen normalmente. A menudo, los precios de los inmuebles se ajustan a una distribución normal. La distribución normal es muy importante, pero no se puede aplicar a todo en el mundo real. En esta lección, estudiará la distribución normal, la distribución normal estándar y las aplicaciones asociadas a ellas.

La distribución normal tiene dos parámetros (dos medidas numéricas descriptivas): la media (μ) y la desviación típica (σ). Si X es una cantidad a medir que tiene una distribución normal con media (μ) y desviación típica (σ), la designamos escribiendo

La función de densidad de probabilidad es una función bastante complicada. No la memorice. No es necesario.

La función de distribución acumulativa es P(X < x). Se calcula con una calculadora o una computadora, o se busca en una tabla. La tecnología ha hecho que las tablas queden prácticamente obsoletas. Por ese motivo, así como por el hecho de que existen varios formatos de tabla, no incluimos las instrucciones de la tabla.

La curva es simétrica respecto a una línea vertical que pasa por la media, μ. En teoría, la media es la misma que la mediana, porque el gráfico es simétrico con respecto a μ. Como indica la notación, la distribución normal solo depende de la media y de la desviación típica. Dado que el área debajo de la curva debe ser igual a uno, un cambio en la desviación típica, σ, provoca un cambio en la forma de la curva; la curva se vuelve más gorda o delgada dependiendo de σ. Un cambio en μ hace que el gráfico se desplace a la izquierda o a la derecha. Esto significa que hay un número infinito de distribuciones de probabilidad normales. Una de las más interesantes es la llamada distribución normal estándar.

Desarrollo del tema

La distribución normal estándar

La distribución normal estándar es una distribución normal de valores estandarizados llamados puntuaciones z. Una puntuación z se mide en unidades de la desviación típica. Por ejemplo, si la media de una distribución normal es cinco y la desviación típica es dos, el valor 11 está tres desviaciones típicas por encima (o a la derecha) de la media. El cálculo es el siguiente:

x = μ + (z)(σ) = 5 + (3)(2) = 11

La puntuación z es tres.

La media de la distribución normal estándar es cero y la desviación típica es uno. La transformación

produce la distribución Z ~ N(0, 1). El valor x en la ecuación dada proviene de una distribución normal con una media μ y una desviación típica σ.

Puntuaciones z

Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida y X ~ N(μ, σ), entonces la puntuación z es:

La puntuación z indica cuántas desviaciones típicas tiene el valor x por encima (a la derecha) o por debajo (a la izquierda) de la media, μ. Los valores de x que son mayores que la media tienen puntuaciones z positivas, y los valores de x que son menores que la media tienen puntuaciones z negativas. Si x es igual a la media, entonces x tiene una puntuación z de cero.

Ejemplo:

La regla empírica Si X es una variable aleatoria y tiene una distribución normal con media µ y desviación típica σ, la regla empírica dice lo siguiente:

• Aproximadamente el 68 % de los valores de x se sitúan entre –1σ y +1σ de la media µ (dentro de una desviación típica de la media).
• Aproximadamente el 95 % de los valores de x se sitúan entre –2σ y +2σ de la media µ (dentro de dos desviaciones típicas de la media).
• Aproximadamente el 99,7 % de los valores de x se sitúan entre –3σ y +3σ de la media µ (dentro de las tres desviaciones típicas de la media). Observe que casi todos los valores de x están dentro de las tres desviaciones típicas de la media.
• Las puntuaciones z para +1σ y –1σ son +1 y –1, respectivamente.
• Las puntuaciones z para +2σ y –2σ son +2 y –2, respectivamente.
• Las puntuaciones z para +3σ y –3σ son +3 y –3, respectivamente.

La regla empírica también se conoce como la regla del 68-95-99,7.

Ejemplo:

La estatura media de los hombres de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010 fue de 170 cm con una desviación típica de 6,28 cm. Se sabe que la altura de los hombres sigue una distribución normal. Supongamos que X = la altura de un hombre de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010. Entonces X ~ N(170, 6,28).

a. Supongamos que un hombre de 15 a 18 años de Chile mide 168 cm entre 2009 y 2010. La puntuación z cuando X = 168 cm es z =___________ . Esta puntuación z le indica que x = 168 está a ____________desviaciones típicas a la____________ (derecha o izquierda) de la media __________ (¿Cuál es la media?). b. Supongamos que la estatura de un hombre de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010 tiene una puntuación z de z = 1,27. ¿Cuál es la altura de los hombres? La puntuación z (z = 1,27) indica que la estatura de ese hombre se sitúa en desviaciones típicas a la _________ (derecha o izquierda) de la media.

Solución:

a. -0,32, 0,32, izquierda, 170
b. 177,98 cm, 1,27, derecha

Uso de la distribución normal

El área sombreada en el siguiente gráfico indica el área a la izquierda de x. Esta área está representada por la probabilidad P(X < x). Las tablas normales, las computadoras y las calculadoras proporcionan o calculan la probabilidad P(X < x).

El área a la derecha es entonces P ( X > x ) = 1 – P ( X < x ). Recuerde que P ( X < x ) = Área a la izquierda de la línea vertical que pasa por x . P ( X > x ) = 1 – P ( X < x ) = Área a la derecha de la línea vertical que pasa por x . P ( X < x ) es lo mismo que P ( X ≤ x ) y P ( X > x ) es lo mismo que P ( ≥ x ) para distribuciones continuas.

Cálculo de probabilidades

Las probabilidades se calculan mediante la tecnología. Se dan las instrucciones necesarias para las calculadoras TI-83+ y TI-84.

Ejemplo:

Una computadora personal se utiliza para trabajo de oficina en casa, investigación, comunicación, finanzas personales, educación, entretenimiento, redes sociales y un sinfín de cosas más. Supongamos que el número promedio de horas que se utiliza una computadora personal en un hogar para el entretenimiento es de dos horas al día. Supongamos que los tiempos de entretenimiento se distribuyen normalmente y la desviación típica de los tiempos es de media hora.

a. Calcule la probabilidad de que una computadora personal en un hogar se utilice para el entretenimiento entre 1,8 y 2,75 horas al día.

Solución

a. Supongamos que X = la cantidad de tiempo (en horas) que se utiliza una computadora personal en un hogar para el entretenimiento. X ~ N(2, 0,5) donde μ = 2 y σ = 0,5.

Calcula P(1,8 < x < 2,75).

La probabilidad que se busca es el área entre x = 1,8 y x = 2,75. P(1,8 < x < 2,75) = 0,5886

Fuente y licenciamiento

• OpenStax (2022). Introducción al estadística. OpenStax https://openstax.org/books/introducci%C3%B3n-estad%C3%ADstica/
• De OpenStax bajo licencia Creative Commons Attribution License v4.0