Representación de relaciones entre magnitudes

Las matemáticas rodean nuestra vida. Uno de los conceptos que más utilizamos es el de sentido del número, el cual describe, de manera abstracta, una cantidad determinada de objetos. Las necesidades numéricas de los primeros humanos se limitaban al conteo de elementos. Para ello usaban sus de dos o piedras o nudos en cuerdas, etcétera. Con el tiempo, estas manifestaciones y conocimientos del número se fueron estructurando a partir del uso de numerales para representar a los números, hasta llegar a establecer las bases para desarrollar sistemas numéricos que permitieron la expresión de cantidades finitas e infinitas más el desarrollo de las operaciones aritméticas.

Sistema de numeración posicional decimal

El sistema que usamos para representar cantidades se llama indo-arábigo o decimal, éste se originó en la India y su difusión estuvo a cargo de los árabes en toda Europa, de ahí viene el nombre de números arábigos.

Los símbolos que empleamos en nuestro sistema de numeración tienen como elemento geométrico de base el ángulo. La cantidad de ángulos que tienen los símbolos permitió asociarlos con cantidades específicas. Las siguientes figuras explican el origen de los símbolos que usamos para representar números actuales:

El sistema decimal que manejamos se llama posicional ya que de acuerdo con la posición de un dígito es el valor que tiene. El primer número de derecha a izquierda indica las unidades, el siguiente número indica las decenas, el tercer número indica
las centenas el cuarto número indica los millares

Ejemplo: La cantidad 1204 está conformada por tres números y cada uno representa un valor diferente, los valores se muestran en la siguiente tabla.

Los sistemas de uso común en el diseño de sistemas digitales son: el decimal, el binario, el octal y el hexadecimal, estos son los sistemas de numeración más usados en la actualidad. El sistema que nosotros usamos para contar es de base 10, es decir, (10₁₀), y sus símbolos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

Para expresar un número se debe colocar en una determinada posición, que denota la potencia de la base (Xⁿ) y para entenderlo desarrollemos cantidades de nuestro sistema decimal.

Si los colocamos en una tabla de valores posicionales, de menor a mayor valor, que expresan potencias de 10 tendremos: 10⁰ son unidades, 10¹ son decenas, 10² centenas, 10³ unidades de millar, y así, sucesivamente.

La tabla de valores posicionales es un arreglo de potencias positivas y negativas de la base.

Si representamos las potencias de 10 en fracción, con valores posicionales de mayor a menor, tendremos:

Ejemplo 1: Expresa en notación desarrollada al número 320.25.
Solución:

Ejemplo 2: Expresa en notación desarrollada al número 107.03.
Solución:

Si colocamos al cero como un punto de una recta numérica, entonces los números positivos son los que quedan representados como puntos a la derecha del cero y los negativos se representan a la izquierda. Al conjunto de números positivos se les
conoce como números naturales (N).

Números positivos

Una forma de distinguir a los números positivos es anteponiéndoles el signo +, por ejemplo:

Positivo tres se puede escribir: +3 o simplemente 3. Positivo cinco sextos se puede escribir: + 5/6 o simplemente 5/6

Positivo tres enteros doce centésimos se puede escribir: +3.12 o simplemente 3.12 En este curso consideraremos al número uno (1) como primer número y, se llaman naturales debido a que surgieron de contar naturalmente por nuestros antepasados, así tenemos que el conjunto de los números naturales es: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …}

Si disponemos de dos o más números positivos podemos relacionarlos de modo que se produzca un tercero de esa relación. Las relaciones entre números se conocen como operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación, división, potencia, radicación, entre otras. Estas operaciones nos facilitan la solución de problemas que involucren cantidades.

Reglas de los signos para las operaciones aritméticas

Suma

a) Cantidades con signos iguales se suman y al resultado se le antepone el signo que tiene cada cantidad.

(+8) + (+5) = +13
(-8) + (-5) = -13

b) Cantidades con signo diferente se restan y al resultado se le antepone el signo de la cantidad con mayor valor absoluto.

(+8) + (-5) = +13
(-8) + (+5) = -13

Resta

El minuendo se suma con el inverso aditivo del sustraendo y al resultado se le antepone el signo de la cantidad con mayor valor absoluto.

(+ 8) – (- 5) = (+ 8) + (+5) = + 13
(- 8) – (+5) = (- 8) + (- 5) = – 13

Multiplicación y división

a) El producto o cociente de dos cantidades con signos iguales es positivo.

(+) x/+ (+) = (+)
(-) x/+ (-) = ( +)

b) El producto o cociente de dos cantidades con signos diferentes es negativa.

(+) x/+ (-) = (-)
(-) x/+ (+) = (-)

Ejemplo 1: Restar

Factorización aritmética

Factorizar una cantidad significa escribirla como la multiplicación de otras cantidades, diferentes de ella, de modo que ninguna de estas cantidades se pueda factorizar más. Las cantidades que participan de una multiplicación se denominan factores y las cantidades que solo pueden expresarse como el producto de ellas por la unidad se denominan números primos, por lo que factorizar una cantidad es expresarla como el producto de sus factores primos.

El conjunto de números primos inicia con el 2. La cuestión que provoca revuelo es ¿por qué el 1 no es considerado número primo? El 2 se puede escribir como 2 × 1, el 3 como 3 × 1, el 5 como 5 × 1, de modo que nos damos cuenta que los números
primos tienen dos factores, lo que no ocurre con el 1, motivo por el que se excluye de este conjunto. Los números mayores que 1 que no son primos se denominan números compuestos.

Ejemplo: La factorización completa de 60 es: 60 = 2 × 2 × 3 × 5, abreviando la multiplicación de 2 por 2 con una potencia, tenemos: 60 = 2²× 3 × 5. 60 es un número compuesto porque se expresa como producto de más de dos factores.

Para factorizar números, utilizamos el proceso siguiente:

del cual podemos escribir 60 = 2 × 2 × 3 × 5.

Máximo común divisor aritmético (m.c.d.)

De un conjunto de números enteros, el máximo común divisor aritmético es el producto de todos los divisores comunes a todos los números de ese conjunto.

De este modo, para el conjunto A = {48, 60, 72, 90} buscamos el mayor divisor de todos los números en A. Podemos darnos cuenta que todos los números son pares, de modo que un divisor común es 2, pero hay divisores mayores que 2, como 4. Por tanto, 2 no puede ser considerado el máximo común divisor. Buscar divisores comunes a todos los números en A que sean mayores que 4 puede resultar difícil de este modo. Existe un método para encontrar el máximo común divisor aritmético basado en la factorización de un número, que utilizaste en cursos anteriores de Matemáticas y que ahora recordamos con los siguientes ejemplos:

Se desea conocer el mcd para los números 6, 12 y 24:

El mcd para los números 48, 80 y 96 es:

El mcd para los números 84, 126 y 154 es:

Siguiendo los procedimientos anteriores, si:

1. 18 y 24 son divisibles por 2, por 3 y por 6. ¿Hay algún número mayor que 6 que dividida a 18 y 24? No, entonces 6 es el m.c.d. de 18 y 24.
2. 60, 100 y 120 son divisibles por 2, 4, 5, 10 y 20. No hay ningún número mayor que 20 que los divida a los tres. Entonces 20 es el m.c.d . de 60, 100 y 120.

Mínimo común múltiplo aritmético (m.c.m.)

Se descomponen los números en sus factores primos y el m.c.m. se forma con el producto de sus factores primos comunes y no comunes afectados de su mayor exponente.

Se desea conocer el m.c.m. de 50, 80, 120 y 300.

El m.c.m. estará formado por el factor 2 elevado a su mayor exponente que es 4, multiplicado por el factor primo 5 elevado a su mayor exponente que es 2, multiplicado por el factor primo 3, elevado a su mayor exponente que es 1. Luego el m.c.m. (50, 80, 120, 300) = 2⁴ × 5² × 3 = 1200, este concepto también se conoce como común denominador para las operaciones con los números racionales (fracciones).

Por ejemplo, si tenemos las fracciones:

Podemos hacerlas homogéneas haciendo que ambas tengan el mismo denominador: 12 en este caso. Este denominador común es el mínimo común múltiplo de 4 y de 12. Para obtener el m.c.m de números basta con factorizarlos simultáneamente hasta obtener 1 en cada denominador como se ilustra en el siguiente proceso:

Así, la primera fracción 3/4 se puede escribir con denominador 12 si multiplicamos por 3 su numerador y denominador:

Este factor se obtuvo dividiendo el m.c.m. = 12 entre el denominador 4 dando como resultado 3.

Aplicando este proceso para calcular m.c.m. (4, 12), tenemos que:

4 = 2² y 12 = 2² . 3, por lo que m.c.m. (4,12) = 2² .3 = 4 . 3 = 12

Números racionales

No todos los números positivos que procesamos son enteros: el precio de un producto, el promedio de las calificaciones de un alumno que termina la secundaria son ejemplos que muestran cantidades de naturaleza no entera.

Con el propósito de resolver algunas situaciones en las que existe la necesidad de expresar resultados no enteros, la numeración (N = números naturales) se extendió hacia los números racionales (Q⁺).

Una fracción de la forma a/b es:

Propia, cuando a < b (a menor que b); impropia cuando a > b (a mayor que b) o aparente cuando a es divisible entre b.

Algunas veces las fracciones impropias se expresan como números mixtos o viceversa, es decir:

Los números racionales están incluidos en los números reales, que son todos aquellos que se pueden representar como puntos en la recta numérica, de modo que, si la recta numérica está conformada por un número infinito de puntos, entonces el conjunto de números reales también es infinito. Los números positivos, negativos, enteros y decimales son ejemplos de números reales.

Los números que para expresarse requieren de una parte entera y otra fraccionaria se denominan números fraccionarios y si la base empleada como base es el número diez, se denominan números decimales.

Los números en una recta numérica están ordenados. De dos números representados gráficamente, es mayor el que está situado más a la derecha, y menor el situado más a la izquierda.

Criterios para ordenar los números en la recta numérica

• Todo número negativo es menor que cero, -7<0
• Todo número positivo es mayor que cero, 7 > 0
• De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto, -7> – 10 ; |-7|>|-10|

Números decimales

Estos surgen por diversas razones, por ejemplo, si usamos una unidad de medida como el metro, encontraremos objetos cuya longitud no sea un múltiplo exacto de este modelo de unidad y tendremos que usar fracciones del metro para expresar la medida más precisa de la longitud de este objeto: los decímetros, centímetros, milímetros, etc. Tu estatura es un buen ejemplo; los números decimales pueden interpretarse de tres maneras diferentes:

Como división

La expresión decimal de un número racional se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador. Pueden obtenerse dos tipos de cocientes: uno con un número infinito de cifras (número decimal) y otro con un número infinito ( fracción infinita o periódica).

Ejemplo de número decimal con cociente finito: Juan compro en la tienda 3 kilos de arroz, si tiene que dividirlo entre su mamá y su hermana podrá darles un 1 kilo a cada una y lo que sobra dividirlo en dos partes iguales y dar una parte a su mamá y otra a su hermana, quedándole a cada quien

Ejemplo de fracción infinita o periódica:

Las partes iguales en que dividimos un entero se denominan fracciones

y se aprovechan para expresar cuántas partes (a) se están tomando de un entero dividido (en b partes). Por ejemplo,

equivale a tomar dos partes de un entero dividido en cinco partes iguales.

Gráficamente:

Una forma usual de utilizar las fracciones comunes en diversos cálculos es el tanto por ciento (%) todos los días, por ejemplo: los intereses que generan los créditos bancarios, el porcentaje de mujeres en un salón, el precio de oferta de un artículo con descuento en un centro comercial, etc.

El % nos indica el número que se toma de un entero dividido en cien partes. Por ejemplo:

Aunque más adelante estudiaremos los porcentajes, mostramos en este espacio algunos ejemplos de su uso.

Ejemplo 1: Calcula el descuento de un perfume en una tienda sabiendo que su precio normal es de 350 pesos y la etiqueta de oferta indica un descuento de 25%. ¿Cuál es el precio de oferta?

Solución:

Ejemplo 2: Si se solicita un préstamo de 2500 pesos por un plazo de un mes con un interés mensual del 5%, ¿Cuánto se tendrá que pagar al final del mes?

Solución:

Como razón geométrica

La razón geométrica es el número que resulta de comparar por cociente dos magnitudes de la misma especie.

Ejemplo 1: Si las edades de un joven y de su padre son 14 y 42 años respectivamente; en el orden dado es:

que al simplificarse resulta:

Esto significa que el hijo tiene la tercera parte de la edad del padre.

Ejemplo 2: En el teatro del pueblo las localidades de luneta cuestan $100, en tanto que las de galería cuestan $80. Si hacemos una comparación por cociente (razón geométrica), tenemos que:

La localidad de luneta presenta:

simplificando:

del costo de la de galería. La localidad de galería presenta:

simplificando:

del costo de la de luneta. El orden en que se comparan las cantidades es importante.

Propiedades de los números reales

Cuando realizamos operaciones con los números reales, debemos tener claro que sólo podemos realizar una operación a la vez, de modo que es necesario saber cuál es el orden y qué propiedad correcta se aplica; para realizar todas las operaciones que aparezcan en una misma expresión. Estas propiedades para los números reales positivos son:

Propiedad conmutativa. La palabra viene del verbo conmutar que significa cambiar, en este caso, se refiere a cambiar de lugar. Esta ley dice que se puede cambiar el orden de los números en una suma o multiplicación y obtener la misma respuesta, es decir que a + b = b + a y que a ^. b = b _^. a.

Ejemplo: 3 + 5 = 5 + 3 y (3)(5) = (5)(3)

Propiedad asociativa. La palabra viene del verbo asociar, que significa juntar o agrupar, no importa de qué manera se junten o agrupen, la respuesta siempre será la misma. La expresión general de ésta propiedad es:

De este modo, (5 + 7) + 3 es lo mismo que 5 + (7 + 3) porque ambas expresiones dan como resultado 15.

(5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15 y 5 + (7 + 3) = 5 + 10 = 15

Asimismo, 3 ^. (4 ^. 5) es lo mismo que (3 ^. 4) ^. 5 cuyo resultado es 60.

3 ^. (4 ^. 5) = 3 ^. 20 = 60 y ( 3 ^. 4) ^. 5 = 12 ^. 5 = 60.

Esta propiedad sólo se puede aplicar en sumas y multiplicaciones, nunca en restas y divisiones; por que ( 2 – 4 ) – 5 no es igual a 2 – ( 4 – 5 ) ó bien (3 ÷ 5) ÷ 6 no es igual a 3 ÷ ( 5 ÷ 6 ).

Propiedad distributiva. Esta palabra se deriva del verbo distribuir, que significa repartir, esta propiedad dice que si están multiplicando un número por la suma de dos o más números puedes multiplicar el primer número por cada uno de los otros
y luego sumar para obtener la respuesta, se distribuye el producto en la suma. La expresión general de esta propiedad es a(b + c) = ab + ac.

Ejemplo: 5(4 + 3) = 5(4) + 5(3) = 20 + 15 = 35

Números neutros. Dentro de las matemáticas existen 5 números que son muy importantes, en este bloque únicamente analizaremos, el cero (0) y el uno (1), ¿por qué son especiales estos números? Porque son neutrales ante algunas operaciones, al operar con ellas, no las cambian. El cero es el elemento neutro para la suma y la resta, el número uno es neutral ante la multiplicación y la división. Esta propiedad generalizada se define como:

Inverso y los recíprocos. En la recta numérica se puede observar que, indicando al cero como origen existen en uno y otro lado, cantidades numéricas que están a la misma distancia pero, con signo contrario, a estas cantidades se les llama inversos aditivos y sumados siempre dan como resultado cero.

¿Qué número multiplicado por 1/2 es igual a 1? Expresando en símbolos la pregunta se define por

el número buscado en la expresión se llama inverso multiplicativo o recíproco. A continuación se resaltan algunos casos.

1. Si la cantidad es fraccionaria, el recíproco también es una fracción, donde el numerador de una es el denominador de otra y viceversa, no importa si es positivo o negativo.

Ejemplo: El inverso multiplicativo de:

es:

Porque el producto de estos valores es igual a:

2. El recíproco de un número entero, se escribe la unidad como numerador.

Ejemplo: el inverso multiplicativo de 45 es:

porque:

Jerarquización de operaciones

Al efectuar operaciones con dos o más operaciones distintas es indispensable saber en qué orden se deben realizar, esto significa que hay operaciones con distintas jerarquía y propiedades para poder realizar estas operaciones.

Cuando realizamos operaciones con los números debemos tener claro que solo podemos realizar una operación a la vez, de modo que es necesario saber cuál es el orden correcto para realizar todas las operaciones que aparezcan en una misma expresión. Este orden se denomina jerarquía de las operaciones o regla de prioridad. Esta regla o jerarquía establece un orden de importancia para ejecutar las operaciones.

La regla o jerarquía indica que:

Ejemplo: Se desea evaluar la expresión: 5 + 2³ + 3 (5 – 3) – 1.

Evaluar una expresión significa «hallar el valor» que produce. De modo que, aplicando la regla de prioridad tenemos:

de, después

porque la potencia tiene la mayor importancia cuando no hay operaciones agrupadas. Nota que los paréntesis no encierran una operación, sino un número: el 2, para indicar que éste debe multiplicarse por el tres que le parece. Enseguida

porque la multiplicación es de mayor prioridad que la suma o la resta. Se obtiene como resultado, hasta este momento, la expresión: 5 + 8 + 6 – 1. En esta expresión quedan únicamente sumas y restas. Todas ellas son de la misma jerarquía o importancia. ¿Cuál de ellas debe realizarse primero?

Para resolver este dilema se aplica una regla denominada regla de asociatividad, que expresa que cuando en una expresión existan varias operaciones el mismo nivel de importancia éstas deberán evaluarse en el orden de aparición en la expresión, es decir, se irán evaluando de izquierda a derecha, como se ilustra en el siguiente ejemplo:

Usando una calculadora científica para comprobar se tiene el siguiente proceso:

Nota: Las teclas pueden variar de un modelo y marca de calculadora a otro. Algunas veces puede no ser evidente el orden de las operaciones en una expresión.

Ejemplo 1: Evaluar la expresión:

Utilizar las reglas de prioridad y asociatividad correctamente. Escribir el proceso completo para llegar al resultado.

Solución:

Ejemplo 2: Evaluar la expresión:

Utilizar las reglas de prioridad y asociatividad correctamente. Debes escribir el proceso completo para llegar al resultado.

Solución:

Modelos aritméticos y algebraicos

El hombre tratando de explicar fenómenos de la naturaleza, como la forma, medida y diámetro de la tierra, la velocidad del aire, la temperatura de un cuerpo, la fuerza del agua, la epidemia que ocasiona una enfermedad mortal, la simulación
de eventos físicos y químicos por mencionar algunos, ha diseñado expresiones matemáticas que han servido como base para modelar dichos fenómenos, a través de la simplificación de cálculos que deben realizarse frecuentemente a los que denominamos fórmulas.

Una fórmula es una expresión matemática que contiene operaciones entre varias cantidades que describe un cálculo específico para resolver un problema. Existen fórmulas matemáticas para resolver problemas diversos. En una fórmula matemática encontramos símbolos, letras y números que representan cantidades numéricas y operaciones que lleven al resultado buscado, las letras se llaman variables y los números constantes.

El álgebra es la rama de la matemática que considera el uso de símbolos, como las letras y números, para representar cantidades y realizar operaciones con ellas. Por esto las variables se denominan «variables algebraicas».

Por ejemplo, para determinar la temperatura Celsius de una habitación conociendo su temperatura Fahrenheit usamos la fórmula:

Si la temperatura Celsius es de 25 °C, aproximadamente, sabrías que el clima en esa ciudad es agradable.

Pero la fórmula te permite descubrir la realidad del clima de esa ciudad:

Que es aproximadamente de -4 °C. Si el punto de congelación del agua es 0 °C, entonces en esa ciudad hace mucho frío porque su temperatura está por debajo de la temperatura de congelación del agua. Por cierto, el congelador de un refrigerador común tiene esta temperatura aproximadamente todo el tiempo.

Pasado algún tiempo, otra noticia anuncia que la temperatura en una ciudad de Asia tiene una temperatura de 40 oF. El problema es el mismo, la temperatura es diferente. La fórmula que resuelve el problema es la misma, lo que cambia es el
valor de las variables. Esto ocurre todo el tiempo.

Calcular el valor numérico de una expresión algebraica

Las reglas de prioridad (jerarquía de las operaciones) y de asociatividad nos facilitan evaluar expresiones aritméticas. Estas reglas son la base para calcular el valor de expresiones algebraicas o fórmulas.

Si queremos evaluar una fórmula es necesario disponer de los datos numéricos que serán usados para dar valor a las variables de esa fórmula. Estos datos generalmente son expresados en los enunciados de los problemas, o bien, pueden ser obtenidos mediante procesos de conteo o medición. Una vez que contamos con los datos numéricos se realiza la sustitución de ellos en la fórmula para continuar con la ejecución de operaciones sin olvidar aplicar las reglas de prioridad y asociatividad que lleven a la obtención del resultado buscado.

Se muestran a continuación ejemplos de la aplicación del procedimiento de evaluación de fórmulas.

Ejemplo 1: Evalúa la expresión algebraica E = mc² para los valores m = 5 y c = 2.

Solución:

Ejemplo 2: Evalúa la expresión X² + 5x + 6 para x = 2

Solución:

Ejemplo 3: Encuentra el valor numérico de la expresión:

para x = 7 y Y = 1

Ejemplo 4: Calcula el volumen e una lata cilíndrica con base circular de 6 cm de diámetro y 8 cm de altura.

Solución:

El número racional permite expresar de forma más simple el resultado de ecuaciones de tipo ax = b, cuando a y b son números enteros, con a distinto de cero.

Ejemplo 5: Un alumno tuvo las siguientes calificaciones en 4 exámenes de matemáticas: 8, x, 9 y 10. Si su promedio fue de 9.25, ¿Cuál fue su calificación en el segundo examen?

Solución:

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas I. Ciudad de México.