Funciones racionales

Concepto de función racional

Las funciones racionales son las que expresan el cociente de expresiones polinomiales como fracciones donde el denominador (divisor) sea de grado mayor que cero. La expresión general de una función racional es:

Dado que las funciones racionales son divisiones de funciones, debemos tener cuidado con el valor del denominador. ¿Qué pasa si intentamos realizar una división entre cero?

Puedes darte cuenta de que, a medida que x se aproxima a cero, el resultado de la división es una cantidad cada vez más grande. Si seguimos añadiendo celdas a la tabla, ¿cuál sería el valor de f para x = 0? Pues bien, dado que las divisiones entre cero no existen, entonces tampoco existe un valor asociado a f cuando x = 0.

Del análisis anterior concluimos que la función f va tomando valores cada vez más grandes, y eso se dice que tiende a infinito cuando x tiende a cero, pero este tema es objeto de estudio de un curso de cálculo diferencial. Por ahora nos limitaremos a describir gráficamente lo que sucede con una función racional cuando el denominador se anula.

Dominio de una función racional

Las funciones sólo pueden relacionar valores reales para x con valores reales para y, de modo que la división entre cero no está permitida para una función. Esto da la pauta para explicar la forma en que se determinan los valores del dominio de la función. Ya que en el dominio de la función (Domf) sólo pueden estar los valores de x que producen valores reales en f, entonces debemos excluir del dominio aquellos valores de x que provoquen división entre cero, es decir, la condición que deben cumplir los valores de la variable x para pertenecer a Domf es que:

Para entender este concepto, analizaremos primero la existencia de asíntotas.

Asíntota oblicua. Si el grado de P(x) es mayor en una unidad que el grado de Q(x), es decir:

grado (P (x)) – grado (Q(x)) =1

Entonces la función tiene además una asíntota oblicua, por ejemplo:

Las asíntotas oblicuas se obtienen realizando la división algebraica indicada en f, y el cociente de la división es la ecuación de la asíntota oblicua.

Rango de una función racional

Para determinar el rango de la función, es necesario cambiar f(x) por y en la expresión funcional y, si es posible, despejar la variable x.

En caso de que sea posible tal despeje, tendremos una función x = R(y), de modo que:

Si descubres asíntotas verticales para R(y), éstas serán asíntotas horizontales para f(x). Esto puedes comprobarlo con el procedimiento de aproximación al infinito explicado antes.

Es importante que sepas que el cálculo del dominio de una función implica conocimientos algebraicos previos, entre los cuales se encuentra el tema de desigualdades o inecuaciones que, de manera simple, fueron abordados en cursos anteriores.

No siempre es posible el despeje, de modo que el rango de una función racional no siempre se puede determinar.

Las intersecciones con los ejes coordenados se obtienen mediante las expresiones:

• I_x: f(x) = 0, es decir, se buscan los ceros de f, que son las abscisas de las intersecciones con el eje X. Esto sólo es posible si en el rango de la función (Rangof) está contenido el valor de y= 0; en caso de no ser así, entonces la gráfica de f no tiene intersecciones con el eje X.

Es fácil comprender que los ceros de P(x) son los ceros para f(x), de modo que basta calcular los ceros de P(x) mediante la solución de la ecuación P(x) = 0.

• I_y: y = f(0), es decir, se sustituye el valor x = 0 si este valor pertenece a Domf en la función f y los resultados obtenidos son las ordenadas de las intersecciones con el eje Y.

Para comprender este análisis se aplicará de forma directa en los siguientes ejemplos de gráfica de funciones racionales.

Gráficas de funciones racionales

Para graficar una función racional, se sigue el procedimiento que se explica con el ejemplo inicial.

Modelado y solución de problemas con funciones racionales

Las funciones racionales encuentran su aplicación principalmente en problemas de variación inversa, es decir, en relaciones donde el valor de una variable aumenta cuando el valor de otra variable disminuye y viceversa. Por ejemplo, si una obra de construcción la realizan 4 obreros en 5 días, ¿cuántos días necesitarán 10 obreros?

Si aumenta la cantidad de obreros, el tiempo para terminar la misma obra deberá ser menor. Aquí la cantidad de obreros y el tiempo para terminar la obra son variables en una relación de variación inversa.

Otro ejemplo lo encontramos en la ley de gravitación universal de Newton, que «dos cuerpos de masas m1 y m2 se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional a la distancia r entre ellos», es decir, la fuerza de atracción gravitacional está dada por la expresión:

A partir de la expresión anterior, a mayor distancia de separación, menor será la fuerza de atracción y viceversa.

Un ejemplo más lo encontramos en la ley de los gases ideales, que establece que «el producto de la presión y el volumen de un gas ideal es directamente proporcional a su temperatura absoluta», es decir:

¿Cómo varía el volumen de un gas ideal si mantenemos su temperatura y aumentamos su presión? De la expresión anterior despejamos el volumen:

Nos damos cuenta de que la variación entre el volumen y la presión de un gas ideal es inversa: a mayor presión disminuye el volumen y viceversa.

Otras aplicaciones las encontramos en el estudio del movimiento, el crecimiento de poblaciones, la depreciación de bienes, geometrías arquitectónicas, diseño de motores, etcétera.

Ahora te presentamos algunos ejemplos que ilustran la forma de emplear lo estudiado sobre las funciones racionales en la solución de problemas de variación inversa.

Ejemplo 1: Si x hombres están disponibles para realizar una obra que 4 hombres realizan en 5 días, ¿cuál es la función del tiempo que realizarán dependiendo del valor de x? ¿Qué tiempo les llevará a 10 hombres realizar la misma obra?

Solución:

Ejemplo 2: Un gas a 25°C tiene comportamiento ideal. ¿Cuál es la función de variación del volumen molar (n = 1) con respecto al cambio de presión de dicho gas?

¿Qué volumen tendrá dicho gas si se somete a una presión de 2 atmósferas?

Solución:

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas IV. Ciudad de México.