Matemáticas de preparatoria

Funciones factorizables en la resolución de problemas

División sintética

Las funciones polinomiales factorizables se definen a partir de relaciones aritméticas como la suma, la resta, la multiplicación, la división, la potencia y la raíz.

Por la forma en que se presentan estas relaciones, las funciones algebraicas se clasifican de la siguiente manera:

En este tema estudiaremos las funciones polinomiales factorizables. Para lograr comprender el análisis de la factorización de una función polinomial, es necesario recordar la división entre polinomios, ampliando este conocimiento se estudiara la división sintética.

La división sintética es un proceso para dividir un polinomio entre otro de grado menor o igual, pero sin el uso de expresiones literales; es decir, empleamos únicamente los coeficientes numéricos de los términos.

Método de división sintética

El proceso de la división sintética se basa en procedimientos desarrollados por Rufini y Horner. Para realizar este proceso debemos verificar que:

  1. Los polinomios dividendo y divisor estén ordenados descendentemente.
  2. El grado del dividendo sea mayor o igual al grado del divisor.

Si se desea dividir 11×2 – 6x4 – 43x3 + 9x + 8x5 – 42 entre -3x + 2x2 – 6 por el método de división sintética, primero se deben ordenar el dividendo y el divisor.

Dividendo: 8x5 – 6x4 – 43x3 + 11x2 + 9x – 42; grado (Dividendo) = 5
Divisor: 2x2 – 3x – 6; grado(Divisor ) = 2
Dado que grado(Dividendo) > grado(Divisor ), 5 > 2, la división se puede realizar.
El acomodo de los elementos en la división sintética se apegará al esquema de la figura 5.2.

Pasos de la división sintética

Ceros y raíces de la función

A los valores de x que hacen que un polinomio anxn + …. + a1x + a1x + a0 …. valga cero se les llaman raíces o ceros del polinomio.

Por ejemplo, sea el polinomio:

p(x) = x + 1

Entonces, si x = -1, al sustituir dicho valor en el polinomio obtenemos cero.

Así que -1 es una raíz de p(x)

En otro ejemplo, si q(X) = X2 – 4X – 5

Observamos que para x = 5 y x= -1 el polinomio vale cero.

Los ceros de una función polinomial f(x) son los valores que hacen que f(x) = 0

Gráficamente se reconocen, pues son los valores de las abscisas que los puntos de intersección de la gráfica con el eje x.

Si f(r) = 0, entonces afirmamos que la función tiene un cero en x = r, con lo que queda determinado, de este modo, el punto (r, 0) como una intersección de la gráfica de f(x) con el eje X. Para hallar los ceros de un polinomio, se debe resolver la ecuación: f(x) = 0.

La cantidad de soluciones de una ecuación polinomial depende del grado, de modo que si éste es n, la ecuación (x) = 0 tendrá n soluciones, cada una de las cuales puede ser real o compleja, y, como consecuencia, la gráfica f(x) tendrá como máximo n intersecciones con el eje X. Son n intersecciones con el eje X en el caso de que todas las raíces de la ecuación sean reales.

Por ejemplo, una función de primer grado tiene sólo una raíz o cero y, como máximo, una intersección con el eje X. Las funciones de primer grado se denominan funciones lineales porque su gráfica es una recta. Si la recta es horizontal paralela al eje x, entonces no existe intersección alguna con el eje X. Una función de segundo grado o cuadrática tiene dos ceros y, como máximo, dos intersecciones con el eje X.

Una ecuación cúbica tiene tres ceros y, por lo tanto, como máximo tres intersecciones con el eje X, etcétera.

Las intersecciones con el eje y que tiene la gráfica se caracterizan por ser puntos de abscisas igual a cero. Si x = 0, tenemos que:

por lo que para toda función polinomial se cumple que f(0) = a0

Se determina así al punto (0, a0) como la única intersección con el eje Y de cualquier función polinomial. El coeficiente constante a0 determina el punto sobre el eje Y por el cual pasa la gráfica de la función. Si el coeficiente constante es cero, la gráfica de la función polinomial pasará por el origen del plano cartesiano, es decir, por el punto (0, 0). Para comprender mejor esto último, analicemos la función:

f(x) = x2 – 5x + 6

Comencemos el análisis notando que el grado de la ecuación f(x) = 0 es 2, lo que nos garantiza que, a lo mucho, la gráfica tocará dos veces al eje X. Resolviendo la ecuación, obtenemos que las raíces son 2 y 3, lo que significa que f(x) = 2 y que f(x) = 3. Con esto podemos concluir, sin miedo a equivocarnos, que la gráfica corta al eje X en los puntos (2,0) y (3,0)

Por otro lado, el término independiente es 6, con lo que concluimos que la gráfica corta al eje Y en el punto (0,6). Visto de otra forma, la gráfica corta al eje Y a una altura de 6 unidades sobre el eje X.

Con la información anterior y recordando que la gráfica no puede estar «rota», podemos trazar ésta:

Teorema del residuo

Si el polinomio P(x) se divide entre x 􀀐 c , entonces el residuo es el valor de P(c).

Demostración. Si el divisor en el algoritmo de la división es de la forma X – c para algún número real c, entonces el residuo debe ser una constante (puesto que el grado del residuo es menor que el grado del divisor). Si a esta constante se le denomina r, entonces:

P(x) = (x – c) Q (x) + r

Si se establece x = c en esta ecuación, se obtiene:

P(x) = (x – c) Q(x) + r = 0 + r = r

Es decir, P (c) es el residuo r.

Ejemplo: Aplicar el teorema del residuo para hallar el valor de un polinomio, sea:

p (x) = 3x5 + 5x4 – 4x3 + 7x + 3

a) Encuentre el cociente y el residuo cuando P(x) se divide entre x+2
b) Usa el teorema del residuo para hallar P (-2).

Solución:

Teorema del factor

El teorema siguiente establece que los ceros de polinomios corresponden a factores, c es un cero de P si y sólo si:

x – es un factor de P(x)

Demostración. Si P (x) se factoriza como P(x) = (x-c) Q(x), entonces:

P(c) = (c – c) Q (c) = 0 Q(c) = 0

A la inversa, si P(c) = 0, entonces por el teorema del residuo:

P(x) = (x – c) Q (x) + 0 = (x – c) Q (x)

Por lo tanto, x – c es un factor de P(x)

Ejemplo 1: Factorizar un polinomio por medio del teorema del factor, sea:

p(x) = x3 – 7x + 6

Demostrar que P(1) = 0 y factorizar P (x) por completo.

Solución:

Ejemplo 2: Hallar un polinomio con ceros especificados. Hallar un polinomio de grado cuatro que tiene ceros -3, 0, 1 y 5.

Solución:

Teorema fundamental del álgebra

Este teorema es de gran importancia dentro del estudio de las ecuaciones. Encontrar los ceros o raíces de una ecuación representa encontrar todos los valores de x para los cuales f (x) = 0.

Carl Friedrich Gauss fue uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos.

Contribuyó a muchas ramas de las matemáticas. En 1798, a los 20 años de edad, demostró su teorema􀀃que dice lo siguiente:

Teorema fundamental del álgebra. Todo polinomio de grado n tiene n raíces.

Es decir que la ecuación:

Una forma en la que podemos interpretar este teorema es como sigue, ya que se puede factorizar un polinomio dadas las raíces y hay n raíces para todo polinomio de este grado, entonces:

La demostración de este teorema queda lejos del objetivo de esta unidad, sin embargo, daremos algunas herramientas para encontrar las n raíces.

Con las herramientas analizadas, nos percatamos de que no es necesario el uso de fórmulas para resolver ecuaciones de grado n, a lo más nos apoyamos en la fórmula general de la ecuación de segundo grado y en la evaluación, teorema del factor, teorema del residuo, etcétera para resolver ecuaciones de grado dos o mayor.

Por lo que, situaciones matemáticas que pueden ser verdaderamente complicadas, se resuelven por métodos que resultan ser sencillos y de mucha facilidad y, al abordar estas situaciones deben ser individuos capaces de ver la función y bosquejar en sus mentes el comportamiento de la gráfica. Esto es precisamente lo que vas a lograr al término de la presente lección.

Teorema de factorización lineal

El procedimiento que hemos utilizado para determinar las raíces de un polinomio se ha centrado en la factorización de dicho polinomio y su expresión como la multiplicación de sus factores lineales, de sus factores complejos o una combinación de
ellos.

La multiplicidad tiene que ver con el número de factores lineales repetidos o no de cada polinomio. Revisemos los ejemplos:

  • 3 tiene multiplicidad 1.
  • 6 tiene multiplicidad 1.
  • -2i tiene multiplicidad 1.
  • +2i tiene multiplicidad 1.
  • 2 tiene multiplicidad 1.
  • 2 tiene multiplicidad 3.
  • 2 tiene multiplicidad 1
  • La multiplicidad es 4 que es equivalente al exponente mayor de la función polinomial.

En general, dado un polinomio en x, se determinan sus ceros o raíces lineales para poder establecer el conteo de las raíces iguales y establecer su multiplicidad.

Por lo tanto:

  • La multiplicidad está referida al exponente de cada uno de los factores lineales o complejos de un polinomio.
  • La suma de las multiplicidades de las raíces es equivalente con el grado del polinomio.
  • Se hace uso del teorema del factor y de la división sintética.

Gráficas de funciones polinomiales factorizables

Dado el caso de que tanto el dominio como la imagen de la función polinomial sean los números reales, luego entonces los puntos en los que la gráfica corta al eje de las abscisas en una interpretación gráfica de las raíces o ceros de dicha función.

Aun así, las raíces de los polinomios reales no son necesariamente reales; algunas de ellas, pueden ser reales y otras complejas o incluso todas ellas pueden ser complejas.

Una función polinomial no puede tener más ceros que el valor de su grado:

Analiza los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1. Determinar los ceros de la función f(x) = x2 – 4

Solución:

Ejemplo 2: Determinar los ceros de f(x) = x3 – 8

Solución:

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas IV. Ciudad de México.