Matemáticas de preparatoria

Aplicaciones funciones periódicas

Concepto de función trigonométrica

Estas funciones surgen de la relación entre dos lados de un triángulo rectángulo y un ángulo interior en una razón matemática.

Para entender el comportamiento de estas funciones es necesario recordar algunos conceptos importantes:

  1. Un triángulo rectángulo tiene dos lados perpendiculares entre sí: x y y, que forman un ángulo recto (cuya medida es de 90°). Estos lados se denominan catetos del triángulo.
  2. El tercer lado: h, opuesto al ángulo recto, se denomina hipotenusa del triángulo y su medida es mayor que la de los catetos: h > x, h > y.
  3. Los lados se relacionan mediante el teorema de Pitágoras, que enuncia que «la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa»:

Para el ángulo b también se pueden definir las mismas seis funciones trigonométricas.

Periodicidad de las funciones trigonométricas

Si en el plano cartesiano dibujamos un círculo de radio r con centro en el origen y trazamos uno de sus radios, tenemos una herramienta útil para analizar a las funciones trigonométricas, denominado círculo trigonométrico.

Para el triángulo OPQ, que es un triángulo rectángulo, se cumple el teorema de Pitágoras, de modo que: r2 = x2 + y2.

Para el ángulo 0, definido por el punto P(x, y). A partir de estas definiciones podemos analizar las funciones trigonométricas para entender y aplicar sus propiedades a la solución de problemas.

Función seno

Está determinada por la coordenada y del punto P y el radio r cuya medida permanece constante. De este modo, podemos afirmar que el valor de esta función depende, principalmente, del valor de y.

Y el ángulo de 90°, que es frontera final de los ángulos del primer cuadrante, está determinado por el punto (0, r), por lo que:

Mediante un análisis semejante tenemos lo siguiente.

390° = 360° + 30°, de modo que el punto que determina al ángulo de 30° es el mismo que para 390°. Dos ángulos determinados en el círculo trigonométrico por el mismo punto se denominan ángulos coterminales. 30° y 390° son ángulos coterminales. Si ambos ángulos están determinados por el punto P, entonces sus funciones trigonométricas tienen exactamente los
mismos valores:

Lo mismo ocurre si utilizamos ángulos negativos. Esta característica de la función seno se denomina periodicidad.

Función coseno

Del círculo trigonométrico tenemos:

Gráficas de funciones trigonométricas

Antes de graficar a las funciones trigonométricas comencemos definiendo un radián. Un radián se define como el ángulo central que se genera cuando el arco de circunferencia tiene una longitud igual al radio. Observa la siguiente figura:

El ángulo en color azul tiene una medida de 1 radián. Sabemos que el diámetro de la circunferencia se puede colocar sobre el perímetro de ella de modo que se cumple que:

De este modo podemos establecer una relación de equivalencia de las medidas angulares entre grados y radianes:

Así, si deseamos saber cuál es la equivalencia en radianes de 30° realizamos la siguiente conversión:

Ejemplo 1: ¿Cuál es la equivalencia de 45° en radianes?

Solución:

Una vez entendido el concepto de radián podemos graficar a las funciones trigonométricas.

Utilizando los valores calculados para la función seno, mediante el círculo unitario, tenemos la gráfica siguiente:

Recordando la periodicidad de la función seno tenemos que la gráfica de la función seno hasta 390° es:

Por último, tenemos que la gráfica para valores negativos y positivos es la siguiente:

Una vez que hemos comprendido cómo es la gráfica completa de la función seno, analicemos sus elementos:

Intersección con el eje Y. El origen del plano cartesiano, que es el punto (0, 0).

Amplitud (A).Es la máxima distancia del eje X a la gráfica de la función, sin importar la dirección; es decir, hacia arriba del eje X, el máximo se encuentra en 1 (distancia de una unidad) y hacia abajo del eje X la máxima distancia se presenta en -1 (distancia de una unidad): A = 1.

Función seno generalizada (senoidal)

Se ha analizado, hasta el momento, la función f(x) = sen x. Sin embargo, añadiendo parámetros numéricos a esta función, podemos realizar algunas transformaciones gráficas y hacerla útil para la aplicación a problemas tales como el estudio del sonido, la electricidad, el movimiento de rotores, etcétera.

Cuando añadimos parámetros numéricos a la función f(x) = sen x, obtenemos una función cuya gráfica se denomina senoide, onda seno, onda senoidal, sinusoide u onda sinusiodal.

La expresión de la función seno generalizada o senoidal es:

f(x) = a sen (bx + c) + d

Donde:

a es el parámetro de amplitud,
b es el parámetro de periodo,
c es el parámetro de fase inicial (desplazamiento horizontal) y
d es el desplazamiento vertical.

El parámetro d representa el desplazamiento de la gráfica con respecto al eje X. La gráfica base tiene su inicio en el punto (0, d). Si d=0, el eje horizontal de la gráfica es el eje X. Si d> 0, la gráfica base de seno se desplaza hacia arriba y si d < 0, la gráfica se desplaza hacia abajo. El parámetro a, de amplitud, modifica la distancia máxima desde el eje base de la gráfica, ubicado en y = d, hasta la gráfica senoidal (hacia arriba y hacia abajo del eje).

  • Si a > 1, la gráfica se alarga verticalmente, con respecto a la gráfica de f(x) = sen x.
  • Si 0 < a < 1, la gráfica se acorta verticalmente, con respecto a la gráfica de f(x) = sen x.
  • Si -1 <a <0, la gráfica se acorta e invierte verticalmente, con respecto a la gráfica de f(x) = sen x
  • Si a < -1, la gráfica se alarga e invierte verticalmente, con respecto a la gráfica de f(x) = sen x.

El parámetro b de periodo permite comprimir o alargar la gráfica base senoidal horizontalmente. Con este parámetro se puede determinar el periodo de la gráfica mediante la expresión:

Si 0 <b <1, la gráfica se alarga horizontalmente y si b > 1 la gráfica se acorta horizontalmente.

Si b < 0, la gráfica se invierte horizontalmente, de modo que la gráfica base se traza de derecha a izquierda.

El parámetro c, de fase inicial (o desplazamiento horizontal) se emplea para desplazar la gráfica horizontalmente. El inicio de la gráfica se localiza en la solución de la ecuación:

El final de la gráfica depende del periodo, de modo que el final de la gráfica estará dado en la solución de la ecuación:

Si c > 0, la gráfica de la función base senoidal se desplazará horizontalmente hacia la izquierda y si c < 0, la gráfica de la función base senoidal se desplazará horizontalmente hacia la derecha.

Análisis de la función senoide:

Intersecciones con el eje X. Pueden determinarse después de trazar la gráfica.
Puntos máximos. Pueden determinarse después de trazar la gráfica.
Puntos mínimos. Pueden determinarse después de trazar la gráfica.

Ahora veamos el procedimiento para graficar funciones seno generalizadas, tomaremos como ejemplo la función:

Los siguientes ejemplos ilustran el proceso recomendado para graficar funciones senoidales.

Ejemplo 1: Analiza y traza la gráfica de la función f(x) = 3sen x.

Solución:

Función coseno

Los elementos de la función coseno son los siguientes:

Amplitud (A). Es la máxima distancia del eje X a la gráfica de la función, sin importar la dirección; es decir, hacia arriba del eje X, el máximo se encuentra en 1 (distancia de una unidad) y hacia abajo del eje X la máxima distancia se presenta en -1 (distancia de una unidad); A = 1

Función coseno generalizada (cosenoide)

Su expresión general es:

f(x) = a x cos (bx + c) + d

Donde:

a es el parámetro de amplitud,

Si a = 1, b = 1, c = 0 y d = 0, se tiene la función base f(x) = cos x que se acaba de analizar. Los parámetros de la función cosenoide afectan la gráfica de la función coseno base de la misma manera que en la función senoide. El procedimiento para graficar las funciones cosenoides es semejante al del trazado de la gráfica de la función senoide.

Con los siguientes ejemplos se ilustra el proceso de análisis de las funciones cosenoides:

Modelado y solución de problemas con funciones trigonométricas

Las aplicaciones de las funciones trigonométricas son extensas e interesantes. Por ejemplo, los fenómenos de vibración tales como los de las cuerdas de una guitarra para producir sonido y el sonido mismo se describen mediante funciones trigonométricas. También el estudio de los temblores es analizado mediante funciones trigonométricas.

La electricidad, y particularmente el cálculo de su intensidad en corriente alterna, está determinada por funciones trigonométricas, la luz y las ondas electromagnéticas, como las ondas de radio y televisión, también obedecen modelos trigonométricos.

Los movimientos periódicos, es decir aquellos que cada cierto intervalo de tiempo repiten los valores su posición, velocidad y aceleración, variando desde un valor mínimo hasta un valor máximo en cada oscilación, se dice que son movimientos armónicos simples (MAS). Por ejemplo, los péndulos, los resortes, las cuerdas de una guitarra, etcétera. El modelo que obedece el MAS es:

Donde x es la posición de un punto del objeto que vibra en MAS, a es la elongación máxima o amplitud, w es la frecuencia angular (número de ciclos por unidad de tiempo) y x0 es la posición inicial o de equilibrio.

Los siguientes son algunos ejemplos de la forma de analizar y resolver problemas con el uso de las funciones trigonométricas.

Ejemplo 1: Un objeto se suspende de un resorte fijo, se elonga y se suelta de modo que produce un movimiento vibratorio donde:

Construye la gráfica del movimiento del resorte y calcula su posición a los 4 segundos.

Solución:

Ejemplo 2: La ecuación para calcular la intensidad de la corriente eléctrica alterna en un dispositivo de cómputo está dada por la expresión:

Donde Ip es el valor de pico de la corriente o su amplitud, en amperes, k es la constante de frecuencia, en Hertz (Hz) y t es el tiempo, en segundos. Si el pico máximo de corriente es de 10 amperes y k= 1/2. Construye la gráfica del comportamiento de la corriente en este dispositivo.

Solución

Ejemplo 3: Por una de las cuerdas de una guitarra se propaga una onda transversal con amplitud de 7 cm, frecuencia de 40 Hz y velocidad de propagación de 25 cm/s.

Calcula la ecuación de onda y traza su gráfica. El modelo de las ondas que se propagan en cuerdas está dado por la expresión:

Encuentra la ecuación de las ondas sonoras producidas por una cuerda de una guitarra con una amplitud de 7 cm y frecuencia de 40 Hz.

Solución:

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas IV. Ciudad de México.