Elementos asociados a la elipse

En esta lección analizamos las secciones cónicas, que son curvas que se forman cuando un cono doble circular recto se intersecta con un plano; si dicho plano cota de manera oblicua cada generatriz de uno de los mantos de la superficie cónica, la sección es una elipse.

Elipse: es el lugar geométrico de los puntos del plano cartesiano, cuya suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y mayor que la distancia entre los focos.

Elementos de la elipse.

• Vértice: puntos de intersección de la elipse con su eje focal. Se representan V y V^,
• Focos: puntos fijos. Se representan con F y F^,
• Eje focal: recta que pasa por los focos. Es la recta Ef
• Centro de la elipse: punto medio del segmento de recta cuyos puntos extremos son los vértices de la elipse. Se representa con C

Forma ordinaria de la ecuación de la elipse con vértice en el origen

Obtención de los elementos de la elipse

• Coordenadas de los vértices. Para ubicar las coordenadas de los vértices, se hace y = 0 y se sustituye en la forma ordinaria:

Por lo tanto, las coordenadas de los vértices son V(a, 0) y V^,(-a, 0).

• Coordenadas de los puntos extremos del eje menor. Para ubicar las coordenadas de los puntos extremos del eje menor, se hace x = 0 y se sustituye en la forma ordinaria:

Por lo tanto, las coordenadas de los puntos extremos del eje menor son:

B(0, b) y B^,(0, -b)

• Longitud del lado recto

• La excentricidad de una elipse. Determina la forma de la curva, es decir, indica qué tan abierta o cerrada está la elipse.

Se determina por la fórmula

Cuanto más pequeña sea y se acerque a cero, se asemejará a una circunferencia (cuando e = 0 es una circunferencia).

A medida que el valor de e crece, los focos se alejan del centro.

• Relación entre las cantidades a, b y c de una elipse. En una elipse, a representa la longitud del semieje mayor, b la longitud del semieje menor y c la distancia de su centro a uno de los focos. Estos elementos están por la expresión: c² = a² – b²

En resumen, la gráfica de la ecuación

es una elipse que tiene las siguientes características:

Forma ordinaria de la ecuación de la elipse con vértice fuera del origen

La ecuación de una elipse, ya sea horizontal o vertical, cuyo vértice está fuera del origen y que se encuentra en el punto v(h,k), se obtiene reemplazando x por x – h y y por y – k en la ecuación básica de la elipse con vértice en el origen, al igual que se hizo con la parábola y la circunferencia.

Para la elipse con vértice fuera del origen y eje focal en el eje y, tenemos:

Algoritmo para determinar la ecuación de la elipse en su forma ordinaria a partir de la forma general

Para transformar la ecuación de la elipse de su forma general a la forma ordinaria, hay que seguir el algoritmo:

1. Se separan los términos de x en un paréntesis y los términos de y en otro paréntesis, pasando el término independiente (el número solo) del lado derecho.
2. Se factorizan ambos paréntesis con el máximo común divisor (mcd) de cada uno.
3. Se completa el trinomio cuadrado perfecto de cada paréntesis, dividiendo el se-gundo término de cada paréntesis entre 2 y elevando el resultado al cuadrado, agregando del lado derecho los números que se sumaron, para mantener el equilibrio entre las ecuaciones.
4. Se factorizan ambos paréntesis de modo que cada uno quede como un binomio al cuadrado y del lado derecho se reducen términos, quedando la ecuación de la forma b²(x – h) + a²(y – k) = ab.
5. Se dividen ambos miembros de la ecuación entre el término de la derecha (a²b²) , separando el lado izquierdo en dos fracciones.
6. Se simplifican las fracciones del lado izquierdo para llegar a la forma ordinaria.
7. Se calculan los elementos de la elipse dependiendo de la forma, si es con eje focal horizontal o eje focal vertical.

Aplicación de los elementos y ecuaciones de la elipse en la solución de problemas y ejercicios de la vida cotidiana

La elipse tiene varias aplicaciones en la vida cotidiana de los seres humanos. Se utiliza en arquitectura como los puentes con forma semielítptica, en aparatos médicos, tal es el caso de un instrumento que sirve para deshacer cálculos en el riñón utilizando reflectores elípticos de ultrasonido.

Veamos los siguientes ejemplos:

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas III. Ciudad de México.