Matemáticas de preparatoria

Elementos y las ecuaciones de una parábola

La parábola y sus elementos

En el bloque anterior analizamos las secciones cónicas, que son curvas que se forman cuando un cono circular recto se intersecta con un plano, obteniendo con ello tres curvas, además de la circunferencia. Una de estas curvas es la parábola.

El corte es de la siguiente forma:

Parábola: es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano, cuya distancia de un punto fijo llamado foco es igual a la distancia a una recta fija, llamada directriz.

Elementos de la parábola:

  • V = vértice, punto de intersección entre la parábola y el eje principal.
  • F = foco, un punto fijo.
  • D = directriz.
  • a= parámetro, distancia entre el vértice y el foco o del vértice a la directriz.
  • AB = LR = lado recto = |4a|, la distancia que existe entre dos puntos simétricos de la parábola.
  • Eje de la parábola o de simetría, recta que pasa por el vértice y el foco.
  • Radio vector, recta del eje de la parábola a uno de sus puntos.
  • Cuerda, segmento de recta que une dos puntos de la de la parábola.

Hay dos características importantes de la parábola:

  • La posición del eje determina la posición de la parábola; entonces, se generan parábolas horizontales, verticales o inclinadas.
  • La parábola siempre es simétrica con respecto a su propio eje.


En la figura anterior, podemos describir la parábola como sigue:

  • Pasa por el vértice y abre hacia el foco.
  • Tiene la misma distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz, es decir, el mismo parámetro (a).
  • El ancho focal o lado recto a la cuerda que pasa exactamente en el foco, que es perpendicular al eje de simetría y paralela a la directriz.
  • Las coordenadas del vértice son V(0,0).

Ecuación de una parábola con vértice en el origen

Ecuación de una parábola con vértice fuera del origen

La ecuación de una parábola, ya sea horizontal o vertical, cuyo vértice está fuera del origen y que se encuentra en el punto v(h,k), se obtiene reemplazando x por (x – h) y y por (y – k) en la ecuación básica de la parábola con vértice fuera del origen, al igual que se hizo con la circunferencia.

Por lo tanto, las ecuaciones de la parábola en su forma ordinaria con vértice fuera del origen son:

  • (y – k)2 = 4a(x – h) Si abre hacia la derecha o izquierda
  • (x – h) = 4a(y – k) Si abre hacia arriba o hacia abajo

Si desarrollamos, las ecuaciones de la parábola en su forma general con vértice fuera del origen son:

  • y2 ± by ± cx ± d = 0 Si abre hacia la derecha o izquierda
  • x2 ± bx ± cy ± d = 0 Si abre hacia arriba o abajo

Donde b, c y d son números reales.

Transformar la ecuación de la parábola en su forma ordinaria a partir de la forma general.

Revisemos las dos ecuaciones en su forma general considerando los ejes:

La ecuación general de la parábola se escribe de la forma y2 ± by ± cx ± d = 0 si su eje focal es paralelo al eje x, como se observa en la siguiente figura:

La ecuación general de la parábola se escribe de la forma x2 ± bx ± cy ± d = 0 si su eje focal es paralelo al eje y, como se observa en la siguiente figura:

Para transformar la ecuación de la parábola de su forma general a la forma ordinaria, hay que seguir el algoritmo:

  1. Se separan los términos de y a la izquierda y los términos de x a la derecha.
  2. Se completa el trinomio cuadrado perfecto, dividiendo el término en y entre 2 y elevándolo al cuadrado, sumando este término en ambos lados de la ecuación.
  3. Se factorizan ambos lados de la ecuación, de modo que del lado izquierdo quede un binomio al cuadrado y del lado derecho obtenemos el máximo común divisor de ambos términos, con lo cual queda una ecuación de la forma (y – k)2 = 4a(x – h)

Los elementos de la parábola se obtienen como sigue:

  • Las coordenadas del vértice. Se pueden obtener fácilmente, ya que al quedar la ecuación en la forma (y – k)2 = 4a(x – h) se extraen de aquí los valores de h y k.
  • El parámetro a. Se obtiene de dividir entre 4 el máximo común divisor que resultó del lado derecho de la factorización 4a(x – h), ya que el máximo común divisor es igual a 4a.
  • Las coordenadas del foco. Están determinadas por la relación (h + a, k)
  • El lado recto. Están determinado por la relación LR = |4a|
  • La directriz. Se obtiene por la relación x = h – a
  • Las coordenadas de los extremos del lado recto. Se divide el lado recto entre 2, y se suma y resta el resultado a la ordenada del foco.

Con los elementos anteriores, se realiza un esbozo de la gráfica correspondiente.

De la misma manera se puede realizar todo este procedimiento cuando la variable que está elevada al cuadrado sea la x, intercambiando en el algoritmo las x por y y las h por k.

Aplicación de los elementos y ecuaciones de la parábola en situaciones de la vida cotidiana

Una parábola aparece al graficar una ecuación cuadrática, la cual su forma básica se puede escribir como y = x2, pero como observamos en actividades anteriores se puede representar de varias maneras.

La forma de parábola se produce naturalmente en el mundo físico. Los seres humanos también utilizan formas parabólicas en el diseño de objetos que van desde los puentes, antenas parabólicas, linternas y hasta edificios, que gracias a disposición oblicua, permiten la iluminación del interior a través de todo su perímetro.

¿Te has dado cuenta de que en muchas situaciones donde se requiere un reflejo de luz la forma del objeto es una parábola? Como las linternas, algún tipo de plafón donde se ponen los focos, algunas lámparas y los faros de los automóviles; esto se debe a que todo rayo luminoso que llega al objeto en dirección paralela al eje de la curva converge en el foco. En las antenas parabólicas ayuda a reflejar las señales que luego van a un receptor, quien interpreta las señales de satélite y muestra los canales transmitidos en tu TV.

Veamos los siguientes ejemplos:

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas III. Ciudad de México.