Concepto de función exponencial

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Se denomina función exponencial a toda función de la forma:

En la definición anterior b se conoce como base y la variable independiente x se conoce como exponente.

Gráficas de funciones exponenciales

En forma gráfica, se representa de la siguiente manera:

Ejemplo 1: Obtener la gráfica de la función exponencial de base 7.

Solución:

Dominio y rango

Al igual que cualquier otro tipo de funciones, la función exponencial tiene un dominio y un rango para los cuales la función tiene valores reales.

Al analizar la gráfica del ejemplo 1, se observa que la gráfica de la función es continua y que siempre hay una valor de f(x) para cada valor de x, por lo tanto, el dominio de una función exponencial es:

La cual corresponde a todos los números reales.

Otra característica de esta gráfica es que nunca toma valores negativos en el eje.

Y por tanto, el rango de una función exponencial es:

O bien, el conjunto de todos los números reales positivos.

Las funciones exponenciales pueden graficarse seleccionando valores para x, determinando los correspondientes valores de y, y trazando los puntos.

La base de las funciones exponenciales no puede ser negativa, pero ¿qué tipo de gráfica resulta si el exponente es negativo?, es decir, qué sucede con las funciones de la forma y = b^-x o su equivalente y = 1/b^x, por la ley de los exponentes.

Ejemplo 1: Obtener la gráfica de la función exponencial de base 3 y exponente negativo.

Solución:

Función exponencial

Tiene una curvatura característica que hace que la gráfica crezca, si el exponente es positivo; o bien, tienda a hacerse cero o presente un comportamiento decreciente, si el exponente es negativo o si la base es menor que uno y mayor que cero, esta característica es conocida como variación exponencial, y se representa por:

Si k = 0 implicaría que la gráfica de la función se convirtiera en la gráfica de la función y = 1, si k es negativo, entonces la gráfica presentará un decaimiento. Con k positivo, la gráfica presentará siempre un crecimiento. El factor de crecimiento es a, porque multiplica al término exponencial.

Ejemplo 1: Obtener la gráfica de la ecuación exponencial de base 4 y constante k = 2, es decir f (x) = 4- ^2x

Solución:

Ejemplo 2: Obtener la gráfica de la ecuación exponencial de base 4 y constante k = -2, es decir f(x) = 4^2x

Solución:

Función exponencial natural

Como se vio anteriormente, las condiciones para que un número sea base de una función exponencial es que sea positivo y diferente de uno, condiciones que dejan como opción al número irracional llamado e, el cual tiene un valor aproximado de 2.71828…

En el interés compuesto, n veces los intereses se abonan en n periodos (año, trimestre, mes, etc.). En el interés compuesto continuo los intereses se abonan instantáneamente. Mientras más grande sea el valor de n la ganancia tiende a ser 2.7182818…, que es el valor del número e.

La función exponencial natural es una función exponencial con base e:

y = a x e^kx

Los criterios de una función exponencial son:

• y = a x e^kx es creciente si k es positivo
• y = a x e^kx es decreciente si k es negativo

Ejemplo: Identificar la función y = 2e^0.5x como crecimiento o decaimiento exponencial natural y dibujar su gráfica. Hallar los valores de y, localizar los puntos de coordenadas sobre la gráfica correspondiente.

Solución:

Logaritmos comunes y naturales

Existen dos tipos de logaritmos que son muy usados en la práctica. Primero, el logaritmo común de un número es la potencia a la que hay que elevar el número 10 para obtener el número propuesto, en general sea x un número real, entonces el logaritmo común es la función que asigna una potencia (o exponente) al cual hay que elevar la base 10 para obtener dicho número x.

Segundo, el logaritmo natural de base e o Neperiano de un número es la potencia a la que hay que elevar el número e, para obtener el número propuesto, en general sea x un número real, entonces el logaritmo natural es la función que asigna una potencia (o exponente) al cual hay que elevar la base e para obtener dicho número x.

Simbólicamente es ln x donde e = 2.718281828459…
ln 1 = loge1 = 0 porque e0 = 1

En general, todas las propiedades que se presenten para cualquiera de estos logaritmos, se cumplen para ambas bases (10 y e). Una propiedad básica de estos es:

ln e^x = x para cualquier valor de x
e^{ln x} = x para x > 0

Logaritmos de otras bases

Para calcular logaritmos con base distinta a 10, se puede utilizar una calculadora científica que tenga la capacidad de calcular de manera automática logaritmos de cualquier base o bien recurrir al cambio de base.

Propiedades generales de los logaritmos

• Propiedad 1. La base en todo sistema de logaritmo es siempre un número positivo mayor que cero. Ejemplo: 10 > 0.
• Propiedad 2. El logaritmo de un número, cuando existe, es único. Ejemplo:

log 1000 = 3
ln e = 1
log₃27 = 3

• Propiedad 3. El logaritmo del número cero no existe. Ejemplo:

10^? = 0 entonces log 0 = ?
e^?= 0 entonces ln 0 = ?
7^? = 0 entonces log₇0 = ?

• Propiedad 4. El logaritmo de la unidad en cualquier sistema de logaritmos es igual a cero. Ejemplo:

log 1 = 0 es decir 10⁰ = 1
ln 1 = 0 es decir e⁰ = 1
log₄1=0 es decir 4⁰ = 1

• Propiedad 5. Los números negativos carecen de logaritmos.

log (-5) = ? porque 10^? = -5
ln (-2) = ? porque e^? = -2
log₆(-8)= ? porque 6^? = -8

Propiedad 6. La misma relación de igualdad o desigualdad que se da entre dos o más números existe entre sus logaritmos en un mismo sistema.

20 > 10 entonces log 20 > log 10
1.3010 > 1.000

• Propiedad 7. Los logaritmos de los números mayores que la unidad son positivos.

Los logaritmos de los números menores que la unidad, pero mayores que cero, son negativos. Ejemplo:

• Propiedad 8. El logaritmo del producto de varios factores es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos.

log_b(A × B) = log_bA + log_bB

• a) (5 × 20 × 37) = ln 5 + ln 20 + ln 35
• b) log₂ (8 × 16 × 24) = log₂8 + log₂16 + log₂64

• Propiedad 9. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

• Propiedad 10. El logaritmo de una potencia es igual al producto de dicha potencia por el logaritmo del número base

log_b (Aⁿ) = nlog_b A

a) ln 254 = 41n25
b) log₂ 103 = 3 log₂ 10

Propiedad 11. El logaritmo de la raíz de un número es igual al logaritmo del número dividido entre el índice de la raíz.

Concepto de función logarítmica

Dado un número real x, mayor que cero, la función logarítmica es la inversa de la función exponencial de base b. Algebraicamente el logaritmo base b se denota como:

log_b(x)

Dado que esta función y la función exponencial con b son inversas se puede afirmar que y = logb(x) significa x = by entonces, si existe una función:

f(y) = x = b^y

La cual cumple con las características de las funciones exponenciales, su función inversa está dada por:

f(x) = x = log_b(y)

Que resulta ser la función inversa de la función exponencial.

En la función logarítmica:

a) La base b debe ser un número positivo y distinto de uno, igual que en la función exponencial.
b) La variable x nunca puede ser cero pues no existe un número y real tal que by sea cero.
c) La variable x sólo puede tomar valores positivos debido a que la base positiva genera sólo potencias positivas.

Por ejemplo:

Dominio y rango

A continuación se identifican los logaritmos y las bases de las siguientes expresiones:

Gráficas de funciones logarítmicas

Cualquier función logarítmica con base mayor que cero y diferente de 1, que tenga la forma f(x) = logb (xx), describirá una gráfica similar a la que se muestra a continuación y siempre pasará por el punto (1, 0) sin importar la base que se utilice.

Ejemplo 1: Grafique y = log2x e indique el dominio y el rango de la función.

Solución:

Ejemplo 2: Grafique y = log_1/2x e indique el dominio y el rango de la función.

Solución:

Dado que la función logarítmica x = b^y (y = log_bx) es la inversa de la función exponencial y = b^x, su gráfica se obtiene reflejando la gráfica exponencial en la recta x = y.

En la figura 7.12 se muestran las gráficas generales de y = b^x y de y = log_bx, b > 0 en los mismos ejes. Observa que son simétricos respecto de la recta y = x, podemos ver que el rango de la función exponencial es el dominio de la función logarítmica, y viceversa. Además, los valores de x y de y en los pares ordenados están intercambiados en las funciones exponencial y logarítmica.

Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

En este apartado analizaremos varios casos en los que se aplican ecuaciones exponenciales o logarítmicas, o bien se tendrán que construir modelos a partir de datos proporcionados.

En ocasiones algunas ecuaciones logarítmicas o exponenciales deben resolverse por métodos gráficos. Esto ocurre cuando las expresiones resultantes mediante transformaciones algebraicas son más complejas que la expresión inicial, en términos generales se debe:

1. Tener presente las propiedades de logaritmos
2. Aislar los términos exponenciales o logarítmicos
3. Interpretar en forma inversa exponentes y logaritmos

Ejemplos 1: Resuelva la ecuación 5n = 20

Solución:

Ejemplo 3: Resuelva la ecuación log2 (x + 1)3 = 4

Solución:

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas IV. Ciudad de México.