Números reales: representación y operaciones

Con las aportaciones de los antiguos griegos y los avances hechos por Descartes, Newton, Leibnitz, Euler y Gauss, entre los más destacados, en el siglo XIX, Georg Cantor y Richard Dedekind sistematizaron los números reales.

Todos los días aparecen datos reales en medios de comunicación como periódicos, radio, televisión, murales escolares, informes bancarios, o cuando en una reunión escolar compartimos las rebanadas de una pizza, un pastel. La interpretación de los números reales es diversa, los encontramos en gráficas, en tablas, en pictogramas, etcétera. Por todo esto debemos conocer con más profundidad este conjunto de números, mismos que se esquematizan en el siguiente diagrama:

A continuación se dan ejemplos de cada clase de número real con la intención de formalizar conceptos importantes para la aplicación de estos números en la solución de problemas.

Números racionales

Son todos los números que se pueden escribir como fracción de dos enteros; es decir, si a y b son números enteros, entonces un número que se puede expresar en la forma a/b es racional, se representa por el símbolo a como sigue:

El número a se denomina numerador mientras que b recibe el nombre de denominador y, significa a partes de b partes iguales.

Ejemplo:

Significa una parte de ocho partes iguales, se lee un octavo.

Todos los números enteros se pueden expresar como la fracción de ellos entre 1, que también es entero, por lo que todos los enteros son números racionales:

Estas son las formas racionales más simples para demostrar que un entero es número racional; sin embargo, podemos usar fracciones equivalentes; por ejemplo, para el número 3 tenemos diferentes formas racionales:

Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican por un mismo número entero diferente de cero, se obtiene otra fracción equivalente a ella.

Fracciones equivalentes

Decimos que las fracciones:

son equivalentes cuando representan un mismo número. Esta propiedad se cumple si y solo si:

mb = an

Solución:

Solución:

Solución

Fracción propia

Cuando el numerador de una fracción es menor que el denominador, decimos que se trata de una fracción propia.

Fracción impropias

Es toda fracción en la que el numerador es mayor o igual que el denominador.

Número mixto

Es aquel que se compone de un entero y una fracción.

Expresión de un número mixto en forma de fracción. Todo número mixto puede expresarse en forma de fracción impropia aplicando la siguiente regla:

Solución:

Expresión de una fracción impropia a un número mixto. Al aplicar la siguiente regla:

Fracciones homogéneas

Dos o más fracciones son homogéneas si tienen el mismo denominador.

Fracciones heterogéneas

Si todas tienen diferentes denominadores.

Simplificación de fracciones

La simplificación (o reducción) de fracciones es una de las operaciones matemáticas más importantes, el método consiste en descomponer en sus factores primos el numerador y el denominador de la fracción a simplificar y después cancelar los factores comunes a ambos utilizando la siguiente ley de los exponentes.

Solución:

División de un número racional

La expresión decimal de un número racional se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador. Pueden obtenerse dos tipos de cocientes: uno con un número finito de cifras (número decimal) y otro con un número infinito (fracción periódica).

Ejemplo de número decimal: si tratamos de dividir 5 galletas entre dos niños, podremos dar 2 galletas enteras a cada uno y la que sobra partirla en dos partes iguales y dar una parte a cada niño, que podemos considerar como ó galletas para cada uno.

Ejemplo de fracción infinita o periódica:

Los números con parte decimal finita también son números racionales. Por ejemplo los números 7.5, 19.25 y 9.287 son números que podemos escribir como las fracciones:

Expresión de un número decimal finito en forma de fracción

1. Se cuentan las cifras de la parte decimal del número n para obtener como resultado el número k. Por ejemplo, si n = 7.5, se tiene que k = 1.
2. Dependiendo del valor k obtenido en el paso anterior, se deberá multiplicar al número n por 10k. Si k = 1, n se multiplica por 10; si k = 2, por 100; si k = 3, por 1000, y así, sucesivamente. Esto dará como resultado un entero m sin parte decimal:

m = n × 10^k

Para el ejemplo, m = 7.5 × 10¹ = 7.5 × 10 = 75.

3. Se expresa n como la fracción de m entre 10k:

4. En caso de ser posible, se recomienda simplificar la fracción. Para el ejemplo:

Los números con parte decimal infinita o periódica también son racionales. Por ejemplo, el número 15.333…, que se puede escribir como 15.3, es racional. Observamos que la parte decimal es infinita (que es lo que indican los puntos suspensivos) y que una cifra es la que se repite periódicamente hasta el infinito. Esta cifra es el número 3. por lo que indicamos mediante una testa para esta cifra que se repite periódicamente hasta el infinito.

Expresión de un número decimal periódico en forma de fracción

1. Sea n el número que deseamos probar que es racional, entonces, si la parte periódica comienza desde el punto decimal (como en este caso) y el número de cifras periódicas es k, se debe obtener el producto: 10^kn.
2. Se realiza la resta de este resultado menos el número original: 10^kn – n, que en forma factorizada es: (10^k – 1)n.

En este paso, tenemos lo siguiente:

3. Despejamos n, moviendo el valor 10^k – 1 de la izquierda del signo de igualdad a la derecha. Dado que en el lado izquierdo se halla multiplicando, pasará al otro lado dividiendo al número m, es decir:

4. Se simplifica, si es posible, la fracción para presentar el resultado más sencillo.

Ejemplo: Demostrar que el número 15.3 es racional.

Solución:

Operaciones con números racionales

Dado que el m.c.m se calcula para obtener el denominador que hace homogéneas todas las fracciones de una suma o resta, también se conoce como común denominador. Para sumar o restar fracciones heterogéneas se emplea el proceso indicado por la siguiente expresión:

Ejemplo: si tenemos las fracciones:

Podemos hacerlas homogéneas haciendo que ambas tengan el mismo denominador: 12 en este caso. Este denominador común es el mínimo común múltiplo de 4 y de 12. Para obtener el mcm de números basta con factorizarlos simultáneamente hasta obtener 1 en cada denominador como se ilustra en el siguiente proceso:

Aplicando este proceso para calcular m.c.m. (4, 12), tenemos que:

4 = 2² y 12 = 2² x 3, por lo que m.c.m (4,12) = 2² x 3 = 4 x 3 = 12.

Así, la primera fracción se puede escribir con denominador 12 si multiplicamos por Así, la primera fracción se puede escribir con denominador 12 si multiplicamos por 3 su numerador y denominador:3 su numerador y denominador:

Este factor se obtuvo dividiendo el m.c.m. = 12 entre el denominador 4 dando como resultado 3.

Multiplicación de fracciones

El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de sus respectivos numeradores, y cuyo denominador es también el producto de sus respectivos denominadores. El resultado debe escribirse en forma simplificada:

Ejemplo: Realiza la siguiente multiplicación de fracciones y simplifica.

División de fracciones

Para dividir una fracción entre otra, la fracción dividendo se multiplica por el inverso multiplicativo de la fracción divisor. Esto quiere decir:

Ejemplo: Realiza las siguientes divisiones de fracciones y simplifica el resultado.

Ubica en la recta numérica: números reales y sus simétricos, su valor absoluto y relaciones de orden

Los números reales pueden representarse gráficamente como puntos en la recta numérica y ello permite definir sus propiedades, hacer comparaciones y operaciones con ellos.

Como se muestra en la figura, el número cero es importante porque a partir de él se definen dos conjuntos de números: los positivos y los negativos. Por esta razón se le denomina origen de la recta numérica.

Los números positivos son todos los números mayores que ero y se localizan a la derecha de éste. En la gráfica se muestra el número positivo 3 como un punto a la derecha del cero. Así, los números positivos cumplen la condición x > 0.

Los números negativos son todos los números menores que cero y se localizan a la izquierda de él. La condición que satisfacen los números negativos es x < 0.

Densidad de los números racionales

Entre cualesquiera de dos números enteros hay un conjunto infinito de puntos que representan números no enteros entre ellos, por ejemplo: entre el 3 y el 4 existen números no enteros mayores que 3, pero menores que 4 como, por ejemplo, 3.1, 3.21, 3.205, 3.75, 3.1416, etcétera.

De aquí que la representación de números reales no siempre es fácil. Por ejemplo, si deseamos representar el número 3.5 en la recta numérica debemos localizar el punto en el punto medio del segmento de la recta numérica entre el 3 y el 4, pero si deseamos representar al número

resulta más difícil dada la naturaleza infinita de su parte decimal.

El ejemplo anterior puede servir para explicar alguna estrategia para localizar fracciones en la recta numérica.

Si debemos localizar, por ejemplo, el número

podemos dividir el segmento entre el cero y el uno en 4 partes iguales (cuartos) y contar tres de ellas a partir del cero.
Así localizamos el punto B.

Para localizar el número

dividimos el segmento entre el 3 y el 4 en dos partes iguales (medios) y contamos una parte desde el número 3. De esta forma localizamos el punto C.

Localizar el punto

es más difícil y se recurrió a la localización aproximada. Si hubiésemos usado una hoja cuadriculada podríamos haber usado 3 cuadritos para cada división entera, de este modo podríamos localizar

tomando un cuadrito después del 4, como se muestra en la siguiente figura:

Valor absoluto de un número real

Cualquier número real está localizado en la recta numérica a cierta distancia del cero. Esta distancia es la magnitud del número y se denomina valor absoluto de ese número. Por ejemplo: el número 3 está a 3 unidades hacia la derecha del cero,
por lo que su magnitud o valor absoluto será 3. Asimismo, el número – 3 está a 3 unidades hacia la izquierda del cero, por lo que su magnitud o valor absoluto es 3.

Para definir el valor absoluto del número x se usa la expresión |x|, el número encerrado entre barras verticales llamadas barras de valor absoluto. A partir de esta definición, el ejemplo anterior se puede expresar de la siguiente manera:

|-3| = 3 y |3| = 3

En general, para cualquier número real x se tiene que:

Uno podría decir que el nivel del suelo es el cero, y que sobre el suelo está lo positivos y por debajo están los negativos; como en un edificio. Los pisos hacia arriba son positivos, y los subterráneos son negativos. Cuando uno sube uno dice subí 5 pisos,
pero cuando baja al subterráneo uno no dice bajé -3 pisos, si no simplemente «bajé 3 pisos», es decir el valor absoluto de 3 o de cualquier otro número.

Simétrico de un número real

Hemos analizado que |-3|= |3| = 3, que significa que -3 y 3 están a la misma distancia del cero en la recta numérica. El número -3 se localiza 3 unidades a la izquierda del cero, mientras que 3 está tres unidades a la derecha del cero. Los números con esta característica se denominan simétricos y podemos definirlos como los números que al sumarse producen como resultado al número cero.

El simétrico de un número real es otro número que se localiza a la misma distancia del cero pero en dirección contraria. Así, el simétrico de -100 es 100, y el simétrico de 28 es -28.

Dos números son simétricos si su suma produce como resultado el elemento neutro de la suma: el cero. así -100 y 100 son simétricos porque -100 + 100= 0, y 28 y -28 son simétricos porque 28 + (-28) = 0.

Ejemplo 1: Encuentra el simétrico del número que se obtienen de evaluar la expresión:

2³ – 2.

Solución:

Ejemplo 2: Determina el simétrico del número que se obtiene de evaluar la expresión:

Solución:

Relaciones de orden entre los números reales

Para todos los números reales, un número que se localice a la derecha de otro en la recta numérica es mayor que éste y, en consecuencia, cualquier número que se localice a la izquierda de otro en la recta numérica es menor que éste.

Relación menor que

Para indicar que un número es menor que otro usamos el símbolo <, que se lee «menor que». Para indicar que 2 es menor que 5 usamos la expresión 2 < 5. En general, si deseamos indicar que un número a es menor que otro número b, usamos la expresión a < b.

Esta relación de orden se e4ntiende mejor a parir de la siguiente figura:

En esta figura, se cumple que a < b, porque a se localiza a la izquierda de b.

Relación mayor que

Si queremos escribir que un número es mayor que otro usamos el símbolo >, que se lee «mayor que». Para expresar que 6 es mayor que 4 utilizamos la expresión 6 > 4. En general, expresamos que un número a es mayor que otro número b usando la expresión a > b.

Estas dos relaciones pueden relacionarse entre sí, ya que si a < b, entonces también b > a. Por ejemplo, si decimos que un hijo es menor que su padre es equivalente a decir que el padre es mayor que el hijo: hijo (h) < padre (p) es equivalente de p > h. En la recta numérica el número que se ubica a la derecha del otro es mayor.

Propiedades de la igualdad:

1. Propiedad de identidad. Todo número es igual a sí mismo, es decir, a = a.
2. Propiedad de reciprocidad o de simetría. Si un número es igual a otro, entonces éste es igual al primero, es decir, si a = b entonces b = a.
3. Propiedad transitiva. Si un número es igual a otro y éste es igual a un tercero, entonces el primer número es igual al tercero, es decir, si a = b y b = c, entonces a = c.

Podemos ver que 2.25 se localiza a la izquierda de 3.75, por lo que 2.25 < 3.75. Del mismo modo, dado que se localiza a la derecha de , se cumple que 3.75 > 2.25. Ambas son proposiciones equivalentes.

Si a y b son dos números reales, entonces se cumple sólo una de las siguientes condiciones:

1. a < b, si a se localiza a la izquierda de b en la recta numérica.
2. a > b, si a se localiza a la derecha de b en la recta numérica.
3. a = b, si a se localiza en la misma posición que en la recta numérica.

son fracciones equivalentes y se representan en la misma posición de la recta numérica.

Tasas

Las tasas se emplean donde se requiere conocer la variación en la cantidad de un fenómeno con respecto a otro, por ejemplo, si deseo saber la cantidad de mis compañeros que prefieren el basquetbol con respecto a los que prefieren el futbol. Su aplicación se da en el comercio, la evaluación escolar, la ciencia por mencionar algunos, en el calculo de razones, proporciones y porcentajes.

La tasa es una forma de relacionar la variación entre dos variables donde una es dependiente de la otra. De este modo, si la variable y cambia su valor desde y₁ hasta y₂ cuando varía el valor de la variable x desde x₁ hasta x₂, entonces la tasa de cambio de y con respecto a x está dada por la expresión:

La diferencia y₂ – y₁ puede ser positiva o negativa, lo que implica que y creció o decreció, respectivamente. Lo mismo puede decirse de la variable x. Una forma de expresar el incremento o decremento de una variable es mediante la notación:

Algunos ejemplos de tasas son: la tasa de natalidad, que es la relación de los nacidos vivos al número de habitantes durante un año; tasas de interés que expresan la cantidad de dinero que una inversión produce durante un plazo determinado,
etcétera. Si una de las variables es el tiempo, la tasa se denomina tasa de cambio; por ejemplo, la velocidad de un automóvil, que es la tasa de la distancia recorrida al tiempo invertido en el recorrido, o el cambio en el nivel de agua al llenar una alberca. En problemas específicos se usan la tasa de fecundidad, tasa de mortalidad, tasa de inmigración, tasa de divorcio, tasa de crecimiento, etcétera.

Ejemplo 1. La siguiente gráfica muestra la variación del precio, en pesos, de un artículo durante varios años.

Determina:

a) El precio del artículo en el segundo año del estudio.
b) El precio del artículo en el octavo año.
c) El cambio del precio desde el año 2 hasta el año 8.
d) La tasa promedio del precio para los años 2 a 8.

Solución:

Ejemplo 2. En el año 2000, una ciudad aumentaba su población con una tasa de 1500 habitantes por año. Si en el año 2005, su población era de 60 mil habitantes, ¿qué población había en el año 2000?

Solución:

Razones

La mayor parte de la información que procesamos todos los días se basa en la relación de cantidades que expresamos como fracciones, razones, proporciones o porcentajes. Un alumno sabe que una medida como el promedio de sus calificaciones informa sobre su estado de aprendizaje o que un porcentaje expresa la cantidad de una población que tiene ciertas características; por ejemplo, el porcentaje de alumnos que juega ajedrez en tu escuela.

Por ejemplo, si en un salón hay 36 mujeres y 24 hombres, la razón de mujeres a hombres es de 36 a 24. En nuestro ejemplo, la razón de mujeres a hombres en el salón es 36 : 24. La expresión a + b es la cantidad total y a y b son las partes del total
que se relacionan. En realidad, tratamos de saber cuántas mujeres hay por cada hombre en el salón, de modo que está implícita la operación de división en esta relación; así, 36 : 24 es lo mismo que:

Que en forma más concreta permite decir que en el salón hay 3 mujeres por cada 2 hombres. Así, la razón es 3 : 2.

Se acostumbra expresar los valores a y b con números enteros. Si hubieran valores decimales, multiplique hasta obtener valores enteros. Ejemplo: 2.5 : 3 es igual que 2.5 × 2 : 3 × 2, es decir 5 : 6, correctamente expresada con números enteros.

Las razones se pueden usar para expresar relaciones muy variadas. Como ejemplo, podemos relacionar la altura de un triángulo a su base; la cantidad de personas en un país que tienen estudios a la que carece de ellos; el número de prendas de ropa defectuosas en un proceso de maquila al total de prendas producidas; el número de juegos ganados por un equipo en un torneo al número de juegos perdidos; etcétera.

Ejemplo 1: ¿Cuál es la razón de la altura a la longitud de un pizarrón si su altura es de 75 cm por 2.5 m de longitud?

Solución:

Ejemplo 2: ¿Cuál es la razón de hembras a machos en una pecera que tiene 80 peces, de los cuales 30 son hembras?

Solución:

Proporciones y variaciones

En ocasiones disponemos de dos razones: a : b y c : d; por ejemplo, las razones de mujeres a hombres en dos salones diferentes; las razones de altura a longitud en dos pizarrones; las razones de hembras a machos en dos peceras; etcétera.

Ejemplo 1: En un salón hay 36 mujeres y 24 hombres, ¿cuántas mujeres debe haber en otro salón que tiene 18 hombres para que los grupos sean proporcionales?

Solución:

Ejemplo 2: La imagen del rostro de una persona en una fotografía mide 2 cm de altura por 1.5 cm de anchura. Si el rostro de la persona real tiene 12 cm de altura, ¿cuál es su anchura?

Solución:

Ejemplo 3: En un restaurante hay 12 mesas para no fumadores y 4 mesas para fumadores. ¿Cuántas mesas para fumadores deben colocarse en una sucursal de dicho restaurante en el que se colocaron 42 mesas para no fumadores si se desea que las cantidades sean proporcionales?

Solución:

Porcentajes

Cuando en una proporción una de las razones tiene como segundo elemento al número 100, la proporción se denomina porcentaje. Por ejemplo, las rebajas en las tiendas se expresan en porcentajes, los impuestos se calculan como porcentajes del salario, las tasas de interés que un banco cobra por una tarjeta de crédito son porcentajes del saldo en la cuenta, la información de los medios de comunicación generalmente expresa porcentajes, como el porcentaje de fumadores en una ciudad o el porcentaje de desempleo, etcétera. La expresión de cálculo de un porcentaje es a : E :: F : 100, o en forma de fracciones:

Existe una fórmula que nos permite calcular de manera inmediata el interés:

I = C ^. r ^. t (Interés = capital x tasa x tiempo)

Ejemplo 1: Alex pidió un préstamo de $7500 en el banco más cercano. Lo espera pegar en dos años con una tasa anual fija de 25%. ¿Qué interés pagará al cumplirse el lapso acordado?

Solución:

Ejemplo 2: ¿Cuál es el 15% de 600?

Solución:

Ejemplo 3: En una tienda departamental se anuncia un descuento de 20% sobre una prenda de vestir que tiene un precio normal de 480 pesos. ¿Cuál es el monto del descuento? ¿Cuál es el precio de oferta de la prenda?

Solución:

Regla de tres

La aplicación del despeje a la aplicación de proporciones es la conocida «regla de tres». Consiste en calcular una cantidad a partir de tres cantidades conocidas que varían proporcionalmente. Esta variación puede ser directa o inversa.

Regla de tres simple directa

Para resolver problemas de variación directa en los que intervienen dos variables se usa esta regla. El procedimiento para usarla es el siguiente:

1. Se escribe el supuesto: a es a b.
2. Se escribe la pregunta: c es a x o x es a d, donde x es la incógnita.
3. Se despeja la incógnita de la expresión:

según corresponda, dando lugar a

Ejemplo: Para administrar un medicamento se debe considerar el peso del paciente para indicar la dosis. Si se requieren 10 mg de este medicamento para un paciente de 50 kg de peso, ¿cuántos mg se requerirán para un paciente de 75 kg de peso?

Solución:

Regla de tres simple inversa

Se usa en la solución de problemas de variación inversa entre dos variables. El procedimiento de uso es:

1. Se escribe el supuesto: a es a b.
2. Se escribe la pregunta: c es a x o x es a d, donde x es la incógnita.
3. Se invierte el orden de los términos de la pregunta.
4. Se despeja la incógnita de la expresión:

según corresponda, dando lugar a

Ejemplo: Si tres obreros pueden construir una barda en 4 días, ¿cuánto tiempo les llevará a cinco obreros construir la misma barda?

Solución:

Reconoce variaciones directas e inversas, así como modelos de variación proporcional directa e inversa

Como se explicó al estudiar la regla de tres, existen dos formas de variación entre las variables de una situación particular: variación directa y variación inversa.

Recordemos que la variación directa se presenta cuando al aumento de una variable corresponde el aumento de otra o viceversa, y que la variación inversa ocurre cuando al aumento de una variable corresponde la disminución de otra o viceversa.

Algunas variables tienen variación directa con una variable y variación inversa con otra. Este tipo de variación se considera mixto. Por ejemplo, en Física, la fuerza de atracción entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas
e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Si z varía directamente con respecto a x y y es inversamente proporcional a y, la expresión de la variación es:

Para resolver problemas de variación proporcional se relaciona la información dada en el enunciado para hallar el valor de la constante de proporcionalidad y después se calcula la incógnita.

Ejemplo 1: Un automóvil recorre 20 km en 5 minutos, ¿cuántos kilómetros recorrerá en 30 minutos?

Solución:

Ejemplo 2: La siguiente tabla muestra los datos de dos variables directamente proporcionales. Completa la tabla a partir de la información contenida en ella.

Solución:

Para toda sucesión aritmética se tiene una línea recta al graficar los términos de ella con respecto a la posición. Para demostrar que esta afirmación es verdadera.

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas I. Ciudad de México.