Matemáticas de preparatoria

Sumas y sucesiones de números

Series y sucesiones

Una leyenda clásica sobre la invención del ajedrez, cuenta que el rey hindú Sheram, quien era bastante rico, le maravilló un juego, que consistía en piezas móviles sobre un tablero cuadrado formado por 64 casillas rojas y negras, el rey quedó tan complacido por lo ingenioso del juego, por la variedad de posiciones de las piezas, por lo interesante de las estrategias para ganar, etc. El rey ofreció una recompensa a Seta, su inventor, quien además era su gran visir, consejero y, un excelente matemático.

Seta, al escuchar el amable ofrecimiento del rey, señaló las ocho columnas y las ocho filas del tablero que había inventado y sólo pidió que se le dieran:

1 grano de trigo por la primera casilla
2 granos de trigo por la segunda casilla
4 granos de trigo por la tercera casilla
8 granos de trigo por la cuarta casilla

…y así sucesivamente, en cada casilla el doble de granos que en la anterior, hasta abastecer el total de casillas del tablero, es decir 64.

¿Tú qué crees, su petición fue mesurado o pidió demasiado?¿Por qué?

…La primera respuesta del rey fue: ¡claro que no!, ya que pensó que era un premio mezquino por una invención de tal magnitud.

Le ofreció joyas, bailarinas, palacios, etc., pero el gran visir lo rechazó todo, ya que solo le interesaban los montoncitos de trigo del tablero. Así el rey aceptó la moderada petición de su consejero y solicito que le fuese entregada la cantidad que solicitaba en granos.

Sus contadores empezaron a calcular la cantidad, y la sorpresa del rey fue tremenda cuando se presentaron a decirle algo así:

«Soberano, no depende de tu voluntad cumplir tu promesa a Seta, ya que en todos los graneros del reino no existe la cantidad de trigo suficiente, ni con todos los graneros del mundo entero alcanzaría a cubrirse la suma. Si deseas entregar tal recompensa, se necesitaría que todos los reinos de la tierra se conviertan en labrantíos, mandar desecar los mares y océanos, ordena fundir el hielo y la nieve, para que todo el espacio fuese sembrado de trigo, y la cosecha obtenida fuese entregada a Seta, sólo entonces recibiría su recompensa». Entonces el rey peguntó: ¿Pues cuántos granos hay que entregar? Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil setecientos quince, le respondieron.

La parte de este relato que no es muy conocida es sobre lo que sucedió después, no se sabe si el rey se reprochó a sí mismo por no haber estudiado más matemáticas, o por no pensar crítica y reflexivamente antes de aceptar proposiciones como esa.

Sucesiones de un número racional

Una sucesión es un conjunto de números ordenados de modo que uno es el primer término, otro es el segundo, otro el tercero, y así sucesivamente.

Ejemplos:

a) 1, 2, 3, …
b) 1, 4, 7, 10, …

e) 2, 4, 6, 8, 10, …

Cuando una sucesión tiene un número fijo de términos decimos que es finita; de otro modo, se conoce como infinita.

Ejemplos:

a) 5, 10, 15, 20, 25 es finita
b) 1, 2, 3 es infinita. Los tres punto de la sucesión 1, 3, 5… se llama elipsis e indican que los términos siguientes tienen el mismo patrón que el establecido por los ya dados.

Si a1 representa el primer término de una sucesión, a2 el segundo, a3 el tercero, y así sucesivamente, podemos denotarla como:

La expresión an se conoce como término general o el n – ésimo término.

Método para determinar los términos de una sucesión

Si conocemos el n – ésimo (an) término, podemos determinar sus términos sustituyendo n por 1 para determinar el primero, n por 2 para el segundo, y así sucesivamente.

Ejemplo 1: Determina los primeros cinco términos de la sucesión cuyo término sea:

an = 5n – 2

Solución:

Ejemplo 2: Encuentra el décimo término de la sucesión

Solución:

Método para determinar el término de una sucesión

Cuando se conocen algunos términos de una sucesión, se puede determinar la expresión del término general an con sólo observar su configuración aparente y a partir de ahí, obtener su fórmula correspondiente

Ejemplo 1: Determina una expresión para el término general de 2, 6, 10, 14, … an

Solución:

Ejemplo 2: Determina una expresión para el término general de 4, 7, 12, 19, … an

Solución:

Series

Una serie es la suma de todos los términos de una sucesión. La expresión de una serie aritmética es:

S = a1 + a2 + a3 +… + an

Esta expresión se puede escribir de manera simplificada usando la notación sigma:

expresa la suma de los primeros 5 términos de la sucesión an

Este concepto se desarrollará en el tema de sucesión o progresión aritmética.

Progresiones aritméticas

Una sucesión cuyos términos sucesivos después del primero se forman sumando un número fijo al precedente se denomina progresión aritmética. El número fijo se llama diferencia común de la sucesión y se denota por la letra d.

Si llamamos d a esta diferencia, entonces en donde an – an-1 = d en donde n es cualquier entero mayor que 1. Si una sucesión numérica tiene la misma diferencia, se llama progresión o sucesión aritmética.

Ejemplo 1: Sea la sucesión aritmética: 3, 7, 11, 15, … . Encuentra los siguientes dos términos.

Solución:

Ejemplo 2: Indica si la sucesión 5, 3, 1, -1 y -3 es aritmética o no.

Solución:

Ejemplo 3: Indica si la sucesión 1, 2, 4, 8, … es una sucesión aritmética o no.

Solución:

Ejemplo 4: Indica si la sucesión 6, 1, -4, -9,… es una sucesión aritmética o no.

Solución:

Reconoce las forma algebraica del término n-ésimo de sucesiones aritméticas particulares

Dado que en una sucesión aritmética la diferencia entre dos términos sucesivos es constante. En general, para cualquier término intermedio se tiene que:

an = a1 + (n – 1) d

Que se conoce como término n-ésimo de la sucesión aritmética y representa a todos los términos de la sucesión.

Si conocemos dos términos de la progresión y su posición: ai y aj, donde i < j, podemos obtener la sucesión aritmética. Para esto, calculamos la diferencia entre los índices para saber cuántos términos de diferencia constante hay desde ai hasta aj: k = j – i; es decir, después de ai hay k términos para llegar al término aj. Esto significa que la diferencia d entre los términos de la sucesión aritmética se añade ai a k veces.

Esto es:

Dado que:

ai = a1 + (i – 1) d
Entonces despejamos ai y tenemos que: a1 = ai – (i – 1) d
De manera análgoa, tenemos a1 = aj – (j – 1) d

Ejemplo 1: Si el término n-ésimo de una sucesión es an = 3an-1– 2, encuentra los 5 primeros términos de la sucesión si el primer término es 10.

Solución:

Ejemplo 2: Sea la sucesión 23, 31 y 39, … . Determina si es una sucesión aritmética. De ser así, encuentra la expresión del término n-ésimo y usa esta expresión para saber cuál es el término que ocupa la posición 100.

Solución:

Ejemplo 3: En una sucesión aritmética se tiene que a2 = 1 y a6 = 25. ¿Cuál es el término en posición 18 de la sucesión?

Solución:

Ejemplo 1: Calcula la suma de los primeros 10 enteros naturales.

Solución:

Ejemplo 2: Encuentra la suma de los enteros comprendidos entre 10 y 15.

Solución:

Ejemplo 3: Encuentra la suma de los términos de la sucesión 17, 25,. 33,…, 65.

Solución:

Ejemplo 3: Una persona solicitó un préstamo de 10 mil pesos en una caja de ahorro. La primera quincena pagará 500 pesos y cada quincena siguiente pagará 500 pesos más que la anterior hasta liquidar el préstamo. Supongamos que no le cobrarán intereses por el préstamo. ¿Cuál es el saldo después del primer pago? ¿Cuáles son los saldos después de los pagos 3 y 5? ¿Cuánto ha pagado en 5 quincenas?

Solución:

Identifica gráficamente el tipo de relación variacional en la fórmula del n-ésimo término de sucesiones aritméticas particulares

Las series y sucesiones aritméticas representan la relación de números y posiciones en secuencias ordenadas. Sabes que una relación entre dos variables puede representarse gráficamente en el plano cartesiano, por medio de puntos P(x,y).

Consideremos la sucesión aritmética 3, 7, 11, 15, … y asociemos cada posición con el número en esa posición, entonces tenemos la secuencia de puntos siguiente:

(1,3), (2,7), (3,11), (4,15), … .

Grafiquemos estos puntos:

Observamos que la gráfica muestra una línea recta, cuya ecuación está dada por la expresión:
la expresión:

an = 3 + (n-1)(4) = 3 + 4n – 4 = 4n – 1

Cambiando an por y y n por x, la ecuación de la sucesión es: y = 4x -1

Ejemplo 1: Si la gráfica de una sucesión aritmética pasa por los puntos (1, 1) y (7, 5), encuentra la suma de sus primeros 5 términos. Determina también la ecuación de la sucesión.

Solución:

Sucesiones geométricas

A continuación se propone un breve ejercicio para introducirnos al concepto de sucesiones geométricas.

Construyan una fila de triángulos empleados el menor número de palillos posible.

Reconoce términos de sucesiones geométricas

Una sucesión geométrica es una secuencia o progresión de términos donde el sucesor es igual al antecesor multiplicado por un factor r, llamado razón.

Así, si el primer término es 1 a , entonces:

El valor de r puede calcularse a partir de dos términos consecutivos de una sucesión geométrica por división:

Para identificar una sucesión geométrica, divida algún término entre su antecesor y pruebe que el resultado obtenido es el mismo para cualquier otro termino dividido entre su antecesor. El valor obtenido de las divisiones, si es constante, es el que se definió como la razón r.

Ejemplo 1: Determina si la sucesión 2, 6, 18, 54,… es una sucesión geométrica. En caso afirmativo, encuentra el valor de la razón geométrica.

Solución:


Ejemplo 2: Determina si la sucesión

Solución:

Por definición una sucesión geométrica, tenemos que an = an-1 . r, que como se analizó antes puede expresarse también como an = a1 . rn-1, que es la expresión del término n-ésimo de una sucesión geométrica como se explicó antes.

Ejemplo 1: Dada la sucesión geométrica



Encuentra el término a5.

Solución:

Ejemplo 2: Se deja caer una pelota desde una altura de 10 metros. Cuando rebota alcanza la mitad de la altura desde la que se dejó caer. ¿A qué altura se encuentra la pelota después de 5 rebotes?

Solución:

Series geométricas

Son la suma de los términos de una sucesión o progresión geométrica, por lo tanto:

La fórmula anterior es la que usamos para hallar la suma cuando conocemos el primer término, la razón y la cantidad de términos en la serie geométrica.

Si conocemos dos términos, no consecutivos, de la serie geométrica, entonces podemos conocer la razón por el procedimiento siguiente:

Ejemplo 1: Encuentra la suma de los primeros 10 términos de la serie geométrica: 1, 3, 9, … .

Solución:

Ejemplo 2: El tercer término de una serie geométrica es 50 y el séptimo es 31250. Encuentra la razón y la suma de los primeros 5 términos de la serie.

Solución:

Identifica gráficamente el tipo de relación variacional en la fórmula del n-ésimo término de sucesiones geométricas particulares

Las sucesiones aritméticas dan lugar a líneas rectas en el plano cartesiano. La suma de un valor constante define a las sucesiones aritméticas. En cambio, las sucesiones geométricas se definen a partir de la multiplicación de un término de la serie por un número constante: la razón geométrica.

Con base en el procedimiento para graficar sucesiones aritméticas, podemos elaborar gráficas para sucesiones geométricas.

Ejemplo: Elabora la gráfica para la sucesión geométrica

Solución:

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas I. Ciudad de México.