Polinomios de una variable

Para iniciar con el tema de polinomios es necesario recordar qué es un término y qué es un término semejante.

Las partes de un término son:

Una expresión algebraica puede constar de un término o más, cada término está separado por los signos + o -, depende el número de término o potencia reciben un nombre común.

Un ejemplo de un enunciado que se transforma en una expresión algebraica denominada polinomio es el siguiente:

Los vendedores de automóviles tienen un salario fijo más una comisión o porcentaje por las ventas realizadas en el mes, por ejemplo si el empleado tiene un sueldo de 3000.00 pesos más el 5% por el monto de las ventas (x) que realice durante el mes. Esta situación se expresa de la siguiente forma: 3000 + 0.05x; lo que nos dará el sueldo total del mes, a esta expresión se le conoce como polinomio.

El grado de un monomio depende del exponente de la parte literal. Si solo se tiene una variable el grado es el exponente de la variable; si se tiene más de una variable el grado es la suma de los exponentes de las variables. Ejemplos:

El grado de un polinomio coincide con el grado más alto de los monomios que lo componen. Ejemplo:

P (Z) = Z⁵ + 4Z⁴ -Z + 2 es un polinomio de quinto grado

Polinomio completo. Es aquel que contiene todos los exponentes consecutivos con respecto a una variable. Ejemplo:

3X⁶ – 2X⁵ + X⁴ + 2X³ – X² + 2 X + 3

Polinomio incompleto. Si le faltan monomios de algún grado, es un polinomio. Ejemplo:

3x⁶ – 2x⁵ + X⁴ + x² + 2x + 3

Evaluación de un polinomio

El valor numérico de un polinomio es el valor que se obtiene al sustituir las letras por números y realizar las operaciones indicadas en la expresión.

Para ilustrar la evaluación retomemos el polinomio que sirve para determinar la cantidad de grasa de un alumno de 20 años con medidas de W = 80 cm, P = 4 mm y R = 5 cm. Sustituyendo los valores en el polinomio se tiene:
G = 0.49(80) + 0.45(4) – 6.36(5) + 8.7 = 39.2 + 1.8 – 31.8 + 8.7
G = 17.9 %

El Índice de Grasa Corporal o porcentaje de grasa corporal nos indica la proporción de grasa de nuestro cuerpo. En otras palabras, nos dice si estamos en forma. Las tablas en la siguiente página explican los porcentajes de la figura 4.5.

De acuerdo a las tablas anteriores se puede concluir que el alumno está dentro de los niveles recomendados.

Operaciones con polinomios

Suma de polinomios

Para poder realizar sumas o restas entre dos términos de una expresión algebraica es necesario que estos sean semejantes, en cuyo caso lo que se hace es sumar o restar dependiendo los signos que tengan los coeficientes de los términos y se escriben las literales con el mismo exponente.

Volviendo al ejemplo del plano de la casa para determinar el perímetro sumamos el contorno de la cocina es decir:

Simplificando se obtiene el polinomio que representa el área de la cocina: P = 6x – 24. Para sumar o restar expresiones algebraicas deben ser términos semejantes es decir misma literal y mismo exponente y solo se suman o restan los coeficientes de los monomios y se deja la parte literal igual. Un método práctico para sumar polinomios es ordenando previamente en función del grado de los términos del mayor al menor y situarlos uno debajo del otro, de tal forma que los términos semejantes estén alineados para poder así sumarlos; si el polinomio no es completo, se coloca un coeficiente cero a lo términos que aparecen en uno de los polinomios pero no en el otro.

Ejemplo: Suma los polinomios 3x – 5x² +8x⁴ con el polinomio x + 2x² – 13x³ + 3.

Solución:

Resta de polinomios

Dados dos polinomios H(x) y P(x), el polinomio que resulta de sumar los términos del minuendo con los inversos aditivos de los términos semejantes del polinomio sustraendo. Por ejemplo si se quiere conocer la diferencia del largo entre las dos
recámaras de la casa mostrada en el plano.

La suma o resta se puede hacer en forma horizontal o vertical. Es importante que recuerdes la propiedad distributiva y las leyes de los signos estudiados en el bloque III.

Multiplicación de polinomios

Uno de los ejercicios más interesantes que ocupan mucho de nuestra atención es la multiplicación de polinomios, por lo que antes de iniciar reactivaremos los conocimientos adquiridos de las leyes de los exponentes. Este conocimiento lo llegamos
a utilizar cuando queremos determinar áreas de un terreno del plano de la casa o de las habitaciones de tu casa.

Antes de iniciar recordemos las propiedades de los exponentes:

Multiplicación de monomios

Si multiplicamos dos o más monomios, se multiplican los coeficientes de cada uno de los factores con sus respectivos signos, y las potencias o exponentes de la misma literal se suman, dejando las de distinta literal como están.

El ejemplo siguiente ilustra el procedimiento que se sigue para obtener el producto de dos monomios:

Como se mencionó un polinomio es la suma de varios monomios, entonces al multiplicar por otro polinomio se emplea la propiedad distributiva tantas veces como sea necesario, es decir se multiplica término a término:

(5x²)(4x + 1) = (5x²)(4x) + (5x²)(1) = 20x³ + 5x²

Para multiplicar dos o más polinomios, se tiene que ordenar cada polinomio, preferentemente de forma decreciente, después multiplicar cada término de un polinomio, por todos y cada uno de los términos del otro. Por ejemplo si queremos
determinar el área de un terreno cuyas dimensiones se muestran la siguiente figura.

Recuerda que el área de un rectángulo es A = (base) (altura).

Productos notables

Tanto en la multiplicación aritmética como algebraica se sigue un algoritmo, sin embargo existen productos algebraicos que pueden calcularse a través de normas establecidas, estos productos reciben el nombre de productos notables.

Existen cuatro casos principales de productos notables.

Cuadrado de una suma y diferencia de binomio

El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado del binomio.
El desarrollo de un cuadrado de binomio siempre tiene la misma estructura.

(a + b)² = (a + b)(a + b)

Si realizamos el producto término a término:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a ^. a + a ^. b + b ^. a + b ^. b = a² + 2ab + b²

El cuadro del binomio, como otros productos notables, tiene una representación geométrica en el plano. Consiste en determinar el área del cuadrado de lado a + b.

Para determinar el área del cuadrado de la figura 4.14 multiplicamos las longitudes de sus lados, es decir (a + b) (a + b), o lo que es lo mismo sumar las áreas de los rectángulos internos como se muestra en la figura 4.15.

(a + b) (a + b) = a² + 2ab + b²

Ejemplo 1: Desarrollar el binomio (2x + 7)²

Solución:

Cuando el binomio es una diferencia, se conoce como el cuadrado de la diferencia de dos números es decir:

(a – b)² = (a-b) (a-b) = a² – ab -ba + b² = a² – 2ab + b²

Geométricamente el cuadrado de la diferencia de un binomio se determina a partir de un cuadrado como se muestra en la figura 4.17.

Reordenando el área del cuadrado de (a – b) es:

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Binomios con un término común

Corresponde a la multiplicación de binomios donde el primer término es común para ambos binomios por ejemplo:

(a + 3) (a + 1) = a² + a . 1 + 3 . a + 3 . 1 = a² + a (1 + 3) + 3 = a² + 4a + 3

Esto significa que el producto de dos binomios con un término en común, es:

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

Algunos ejemplos de binomios con un término común:

Productos de dos binomios conjugados

Se llama binomios conjugados al producto de la suma de dos números por su diferencia, se caracteriza por ser un producto de dos binomios con términos iguales, que difieren en que un binomio tiene signo positivo y el otro negativo, por ejemplo:

(x + 2) (x – 2) = x² + 2x – 2x – 4 = x² – 4

El producto de dos binomios conjugados es el cuadrado del primer término, menos el cuadrado del segundo término.

(x a) (x – a) = x² – a²

Algunos ejemplos del producto de dos binomios conjugados son:

Binomio al cubo

El desarrollo del cubo del binomio a + b se puede obtener mullicando éste por su cuadrado.

(a + b)³ = (a + b)² (a + b) = (a² + 2ab + b²) (a + b) = a³ + 2a²b + ab² + a²b + b³

De manera similar se obtienen el desarrollo del cubo del binomio a – b:

(a – b)³ = ( a – b)² (a -b)= (a² – 2ab +b²) (a -b) = a³ – 2a²b + ab² – a²b – b³

Algunos ejemplos de suma y resta de binomios al cubo son:

(x + 2)³ = (x)³ + 3(x)²(2) + 3(x)(2)² + (2)³ = x³ +6x² 12x + 8

(z – 5)³ = (z)³ – 3(z)² (5) + 3(z)(5)² – (5)³ = z³ – 15z² + 75z -125

Triángulo de Pascal

Como podemos observar cuando la potencia del binomio aumenta el número de términos incrementa, si observas los números de términos siempre es un grado mayor a la potencia a la que se encuentra elevado el binomio.

Como podemos observar cuando la potencia del binomio aumenta el número de términos incrementa, si observas los números de términos siempre es un grado mayor a la potencia a la que se encuentra elevado el binomio.

Hay problemas en matemáticas financieras, como es el cálculo de interés compuesto ya sea para un préstamo o para un monto en el que se desea saber cuánto vamos a pagar o recibir después de un tiempo y la expresión se utiliza para este tipo de problema es M = C(1 + i)ⁿ , para determinar el resultado de multiplicar n veces un binomio nos podemos auxiliar del triángulo de Pascal que es una representación de los coeficientes binomiales en forma triangular, se llama así en honor al francés Blaise Pascal quien fue un filósofo, físico y matemático.

Observar en la figura 4.19 que cada número interior es la suma de los que están colocados directamente arriba de él.

Analicemos algunos binomios:

Los coeficientes de cada uno de los términos corresponden al triángulo de Pascal, analizando las potencias de los términos del binomio, puedes observar que el resultado del primer binomio a la potencia cero es (1); para un binomio elevado a la potencia 1, corresponde a los mismos términos del binomio. A partir del binomio a la potencia 2, el primer término tiene la misma potencia que el binomio, el segundo término contiene a ambos términos el primer término disminuido en un grado y el segundo término elevado a la primera potencia y al tercer término tiene la misma potencia que el primero; este desarrollo se puede observar en cada uno de los términos de tal manera que el primer término disminuye en la potencia una unidad y el segundo aumenta en una unidad, hasta la potencia del binomio. Además, el número de términos siempre es n + 1 donde n es el grado del polinomio.

Ejemplo: Desarrolla (a + b)_³ utilizando el triángulo de pascal.

Solución:

Factorización de polinomios

La factorización es la representación de una expresión algebraica como producto. Cada elemento del producto recibe el nombre de factor.

El estudio de factorización requiere de habilidades y conocimientos que has desarrollado a lo largo de este curso, iniciaremos recordando ciertos elementos.

Máximo común divisor de polinomios

Para encontrar el máximo común denominador (m.c.d.) de dos o más términos, debemos encontrar el m.c.d. de los coeficientes y multiplicarlos por la mínima potencia de las variables que aparecen en cada monomio.

Ejemplo: Encontrar el m.c.d de 20x³y² + 16x²y⁴

Solución:

Factorización de un monomio a partir de un polinomio

La factorización es el proceso inverso de la multiplicación de factores, como se mencionó factorizar una expresión significa escribirla como el producto de sus factores. La factorización de un monomio a partir de un polinomio se realiza:

1. Determinar el m.c.d. de todos los términos del polinomio.
2. Escribir todos los términos como el producto del m.c.d. y sus otros factores.
3. Utilizar la propiedad distributiva para factorizar el m.c.d.

Ejemplo 1: Factorizar 15x – 20

Solución:

Ejemplo 2: Factorizar 9x² – 12x

Solución:

Ejemplo 3: Factorizar x(2x + 1) + 5(2x + 1)

Solución:

Factorización de polinomios por medio de agrupamientos

Cuando se tienen cuatro o más términos se agrupan de tal forma que sus factores en común en cada grupo, por ejemplo para factorizar: ax + ay + bx + by, podemos agrupar los términos de la forma siguiente:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x(a + b) + y (a + b)

Identifica cómo se ordena de tal manera que se obtenga el mismo m.c.d.

En nuestro primer ejemplo ordenamos con respecto a las variables x y y observando que ambas tenían el mismo común como se muestra a continuación.

El m.c.d. es (a + b) quedando la factorización de la siguiente manera:

ax + ay + bx + by = x(a + b) y (a + b)

Factorización de diferencia de cuadrados

Recordemos que los números cuadrados son lo que se obtienen de la multiplicación de un número; 1, 4, 9, 16, 25,…etc. Las literales cuadradas son aquellas que tienen exponente par y al ser divididas entre dos nos da un valor exacto x²,x⁴, a⁶…; etc.

Cuando estudiamos el producto de dos binomios conjugados se obtuvo como resultado la diferencia de cuadrados:

(a + b)(a – b) = a² – b²

Si invertimos el proceso obtenemos la factorización. Los pasos a seguir para la factorización de diferencia de cuadrados son:

1. Extraer la raíz cuadrada de cada uno de los términos.
2. Se escriben dos paréntesis que representan los factores.
3. En uno se suman las raíces de cada término y en el otro se restan las raíces de los términos.

Ejemplo 1: factorizar 9a² – 81b²

Solución:

Factorización de suma y diferencia de cubos

El proceso de factorización es el reciproco de los productos notables por lo que la suma de cubos se expresa como se muestra a continuación.

a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

Para factorizar una suma de cubos de dos factores se recomienda los siguientes pasos:

1. Extraer la raíz cúbica de cada uno de los términos.
2. Se escriben dos paréntesis que representan los factores.
3. Un factor corresponde a la suma las raíces de los términos.
4. El otro factor es el primer término al cuadrado, menos el producto de la raíz cúbica de los dos términos más el segundo término al cuadrado.

Ejemplo 1: Factorizar 8x³ + 27

Solución:

Para factorizar una resta de cubos de dos factores se recomienda los siguietnes pasos:

1. Extraer la raíz cúbica de cada uno de los términos.
2. Se escriben dos paréntesis que representan los factores.
3. Un factor corresponde a la resta de las raíces de los términos.
4. El otro factor es el primer término al cuadrado, más el producto de la raíz cúbica de los dos términos más el segundo término al cuadrado.

Ejemplo 2: Factorizar 27v³ – 125

Solución:

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrático tiene la expresión:

ax² + bx + c

Es decir, está formado por un término cuadrático, un término de primer grado y un término constante.

Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es un trinomio; tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos (TCP):

(a+b)² = a² + 2ab + b²

(a-b)² = a² -2ab + b²

Los siguientes puntos ayudan a identificar un TCP:

1. Dos de los términos deben ser cuadrados a² y b².
2. No debe haber signo menos en a² o b².
3. Si multiplicas dos veces ab obtienes el segundo término.

Los pasos para factorizar un trinomio cuadrado perfecto son:

1. Verificamos que el primero y tercer término sea positivos y a ambos se le pueda extraer raíz cuadrada.
2. Se abre un paréntesis y se escribe el valor de la raíz del primer término.
3. Se escribe el signo del segundo término.
4. Se escribe el valor de la raíz del segundo término y se cierra el paréntesis.
5. Se eleva al cuadrado la expresión.

Ejemplo 1: Factorizar x² + 4x + 4

Solución:

Ejemplo 2: Factorizar y² – 20y + 100

Solución:

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas I. Ciudad de México.