Trinomios de la forma x² + bx + c

La forma general de un trinomio esta expresada por:

ax² + bx + c

Este trinomio proviene del producto de dos binomios por ejemplo: (4x + 1)(x + 3)

Cuando el trinomio no es un cuadrado perfecto existen diferentes procesos para efectuar la factorización de los polinomios.

Procedimiento:

1. Realizamos el producto: (4x + 1)(x + 3) = (4x)(x) + (4x)(3) + (1)(x) + (1)(3)
2. Simplificado se obtiene el trinomio 4x² + 13x + 3
3. Identificamos los elementos del trinomio:

4x² corresponde al termino cuadrático ax²
13x corresponde al término lineal bx
3 es el término independiente c

Casos:

Primer caso. Cuando el coeficiente a = 1, el trinomio queda expresado así: x² + bx + c

Ejemplo de estos trinomios son:

Recordando que la factorización es el reciproco del producto notable, iniciaremos analizando el siguiente producto notable con término común. Recuerda que este producto cumple con:

(x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab

Para factorizar el trinomio de la forma x² + bx + c se requiere encontrar dos números que multiplicados den el término independiente y sumados o restados proporcionen el coeficiente del término lineal.

Para factorizar x² + 8x + 15 se deben buscar dos números que multiplicados den 15 y sumados den 8.

El primer renglón cumple con las dos condiciones entonces para factorizar la expresión se acomodan en los factores el término igual, que en este caso es x, y los números encontrados.

La factorización resultante es:

x² + 8x + 15 = (x + 3) (x + 5)

Veamos otro ejemplo. Al factorizar x² – 2x – 24:

El tercer renglón cumple con las dos condiciones entonces para factorizar la expresión se acomodan en los factores el término igual, que en este caso es x, y los números encontrados.

La factorización es:

x² – 2x – 24 = (x – 6) (x + 4)

Con la práctica podrás a visualizar con mayor rapidez los números que cumplen con las dos condiciones para llevar a cabo la factorización de este tipo de trinomios.

Trinomios de la forma ax² + bx + c

Expresiones como 6x² + 7x – 5, 2x² + 3x – 2 son trinomios de la forma:

ax² + bx + c

Los trinomios de esta forma presentan las siguientes características:

1. El coeficiente del primer término diferente de 1.
2. La variable del segundo término es la misma que la del primer término pero con exponente igual a la unidad.
3. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo términos del trinomio.

Para factorizar trinomios de la forma ax² + bx + c, existen varias formas, a continuación se describirá una de ellas.

Método de prueba y error

1. Escribe todas las parejas de factores del coeficiente del termino cuadrático a.
2. Escribe todas las parejas de factores de la constante c.
3. Intenta diversas combinaciones de estos factores hasta encontrar el término medio correcto, bx.

Ejemplo: Factoriza 3x² – 13x + 10

Solución:

Algunos ejemplos de fracciones algebraicas son:

Debido a que en planteamientos posteriores de problemas cotidianos, por ejemplo determinar la razón del número de aciertos que obtienes en un examen la cual se obtiene:

Se encontrarán múltiples expresiones tan complejas como lo son las fracciones algebraicas, es muy importante simplificarlas. Es posible simplificarlas cuando existen factores comunes en el numerador y en el denominador, de lo contrario la expresión
es irreducible.

Ejemplo 1: Simplifica la fracción

Solución:

Ejemplo 2:Simplifica la fracción

Solución:

Operaciones con fracciones algebraicas

Suma y resta

Para sumar o restar fracciones algebraicas con igual denominador, se procede del mismo modo que en las fracciones aritméticas: se conserva el denominador y se suman o restan los numeradores.

Ejemplo 1: Sumar

Solución:

Ejemplo 2: Resuelve

Solución:

Multiplicación de fracciones algebraicas

En la multiplicación de fracciones algebraicas se procede igual que en las fracciones aritméticas: se multiplican numeradores y denominadores entre si, simplificando si es posible.

Ejemplo 1: Multiplicar y simplificar la expresión

Solución:

Ejemplo 2: Simplifica la expresión

Solución:

División de fracciones algebraicas

Las divisiones de fracciones algebraicas se resuelven igual que las fracciones aritméticas: se multiplica la fracción dividiendo por el inverso multiplicativo de la fracción divisor.

Ejemplo 1: Dividir y simplificar la expresión

Solución:

Ejemplo 2: Dividir y simplificar la expresión

Solución:

División de polinomios

Para dividir un monomio entre otro, primero se aplica la regla de los signos para la división, después se dividen entre si los coeficientes y finalmente las literales:

División de un polinomio entre un monomio. Se dividen todos los términos del polinomio entre el monomio, separando los cocientes parciales con sus propios signos:

División de un polinomio entre otro polinomio. Sobre la base de la división aritmética, se dará un método para la división entre polinomios.

El procedimiento es el siguiente:

1. Se ordenan los términos del numerador y del denominador con relación a una letra, en orden de potencias decrecientes.
2. Se divide el primer término del numerador entre el primer término del denominador para obtener el primer término del cociente.
3. Se multiplica el cociente obtenido por cada término del denominador, colocando el resultado en columna (debajo del término semejante en caso de existir, si no tiene semejante en el numerador se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación de potencias), para poder sustraerlo del numerador al producto se le cambia de signo.
4. Considerar el residuo obtenido como un nuevo numerador y repetir los pasos 2 y 3 para encontrar el segundo término del cociente y el siguiente residuo.
5. Continuar el proceso hasta obtener un residuo que sea de menor grado que el grado del denominador.

Si el residuo es cero, la división es exacta, se puede expresar como:

Si el residuo es diferente de cero, la división no es exacta, se puede expresar como:

Ejemplo 1: Dividir P(x) = a² + 4ab + 3b² entre Q(x) = a + b

Solución:

Ejemplo 2: Dividir H(x) = 5a⁴ + a² – 2a – 3 entre G(x) = a – 1

Solución:

División sintética o regla de Ruffini

Tiene por objeto determinar el cociente de un polinomio en x entre un binomio de la forma x – a, de una manera sencilla y rápida, aplicando los siguientes pasos.

Si se desea dividir 11x² – 6x⁴ – 43x³ + 9x + 8x⁵ – 42 entre – 3x + 2x² – 6 por el método de división sintética, primero se debe ordenar el dividendo y el divisor:

Dividiendo: 8x⁵ -6x⁴ -43x³ +11x² + 9x – 42; grado (Dividendo) =5

Divisor: 2x² – 3x -6; grado (Divisor) = 2

Dado que grado (Dividendo) > grado (Divisor), 5>2, la división se puede realizar.

Del acomodo de los elementos en la división sintética se apegará al siguiente esquema:

Pasos de la división sintética

Paso 1. Se escriben los coeficientes numéricos del dividendo ordenado descendentemente en un primer renglón. Si el polinomio está incompleto, escribe cero en la columna del término que falte. Dibuja una vertical junto al último coeficiente escrito:

Paso 2. Se dejan algunos renglones en blanco, para el «área de trabajo». La cantidad de renglones necesarios se puede calcular de la siguiente manera:

Renglones de área de trabajo = grado (dividendo) – gradi(Divisor) + 1

En nuestro ejemplo, renglones de área de trabajo = 5 – 2 + 1 = 4

Paso 3. Se trazan dos líneas horizontales debajo del área de trabajo y se prolonga la vertical hasta cruzar estas dos horizontales. El proceso se muestra en la figura:

Paso 4. Se escribe el primer coeficiente numérico del divisor en el espacio reservado para él, como se indicó en el esquema. en nuestro ejemplo éste coeficiente es 2:

Paso 5. Se escriben los siguientes coeficientes del divisor pero se cambian sus signos. este paso es muy importante para evitar errores en el resultado. También deben escribirse ceros para los términos que el divisor no tenga.

Paso 6. Se baja el primer coeficiente del dividendo hasta la línea de división.

Paso 7. Se divide entre el primer coeficiente del divisor y el resultado se coloca debajo del término que se bajó.

Paso 8. Se multiplica este número por los siguientes coeficientes del divisor y los resultados se colocan en el área de trabajo en las columnas siguientes del renglón número dos:

Paso 9. Se checa que no se haya escrito algún número en la última columna. De ser así se termina el proceso y se deben determinar los resultados. En nuestro ejemplo, el último número escrito es 24, que aún no está en la última columna del área de trabajo (que es la columna donde está el -42).

Paso 10. Si el proceso continua, entonces se baja la suma de los coeficientes de la siguiente columna a la línea de división y se repite el proceso del paso 6 al 9, tantas veces como sea necesario y hasta llegar a la última columna.

Paso 11. Cuando hemos escrito un número debajo de la última columna, como en el proceso próximo anterior, debemos colocar unas líneas de cierre junto a la última cifra escrita en el último renglón.

Paso 12. Como vemos, quedaron dos columnas después de las líneas de cierre. Sumamos estas columnas y escribimos los resultados en la línea de división, como se muestra a continuación.

Paso 13. Ahora, determinemos el cociente. Solo vemos los coeficientes del polinomio que representa al cociente. El último es el número 7. que es el término de grado cero; antes está el -5, que es el grado 1; antes que éste está el 3, que es el término de grado 2, así llegamos al primer término que es el término de grado 3. Como la variable es x, el cociente es: 4x³ + 3x² -5x + 7

Paso 14. Ahora calculemos el residuo. Vemos que en la zona del residuo hay dos ceros. Esto significa que el polinomio del residuo es de primer grado (un término de grado cero y un término de primer grado). Pero como ambos son cero, podemos decir que el residuo final es cero.

Paso 15. Ahora solo resta expresar el resultado:

Ejemplo 1: Dividir 11x² – 6x⁴ – 43x³ + 9x + 8x⁵ – 42 entre -3x + 2x² – 6 por el método de división sintética.

Solución:

Ejemplo 2: Dividir por el método de división sintética la siguiente expresión:

Solución:

Ejemplo 3: Dividir por el método de división sintética la siguiente expresión:

Solución:

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas I. Ciudad de México.