Ecuaciones lineales

La importancia de las ecuaciones se ve reflejada a lo largo de la historia del hombre, el cual ha diseñado modelos que le permiten plasmar la realidad para facilitar el proceso de solución de problemas con los que se enfrenta cotidianamente. Uno de los modelos matemáticos más antiguos son las ecuaciones, cuya palabra proviene del latín aequatio, que significa igualdad, involucrando al menos una cantidad desconocida (incógnita). Los primeros escritos sobre estas expresiones se dan en Grecia, con Ahmes en el año 1650 a. n. e. Los babilonios resolvían problemas que involucraban ecuaciones, existen escritos con diversos problemas, ejemplo de uno de ellos es: «Un montón y un séptimo es igual a veinticuatro» es un problema encontrado en el papiro de Rhind, la mejor fuente de información sobre el desarrollo de la matemática egipcia que se tiene hasta el momento, es un papiro de unos 6 m de largo y 33 cm de ancho que contiene 87 problemas junto con su resolución acerca de cuestiones aritméticas básicas, ecuaciones y trigonometría básica, se dice que fue escrito aproximadamente en el año 1650 a.n.e.

Hagamos uso del lenguaje algebraico como un lenguaje más corto y práctico, que nos permita representar una situación, manipularla y darle solución. Retomemos el problema: «Un montón y un séptimo es igual a veinticuatro» y hagamos su traducción:

Un montón, cantidad desconocida que representaremos por: x y un séptimo, de ese mismo montón, o sea:

Hemos formado una ecuación, una expresión algebraica que representa la relación de igualdad entre cantidades o magnitudes, en donde algún valor es desconocido, en este caso «el montón».

Modelemos a través de una ecuación el siguiente problema:

El Sr. Juan es productor de café y tiene que recoger alrededor de 4 mil cerezas para producir un kilogramo de café, si logró recolectar en promedio unas 21 mil cerezas en esta temporada ¿Cuántos kilogramos de café producirá?

En esta ocasión, la cantidad desconocida es el número de kilogramos de café a producir, representemos dicha cantidad por: k se sabe que se necesitan 4000 cerezas para producir un kilogramo, o sea: 4000k y se recolectaron 21000 cerezas:

4000k = 21000

El grado de una ecuación se determina con el exponente más grande de la incógnita o incógnitas de una igualdad; de acuerdo a su grado y número de incógnitas, las ecuaciones reciben un nombre específico.

Solución de ecuaciones lineales o de grado uno con una incógnita

En esta sección se estudiarán las ecuaciones lineales con una incógnita, en las cuales el exponente de la incógnita es uno, por ello se llaman también ecuaciones de grado uno. La forma general en que siempre se puede escribir una ecuación lineal
con una incógnita es:

ax + b = 0 , donde a es diferente de 0

Para llegar a la forma general se utilizan las operaciones algebraicas básicas y las propiedades aditivas y multiplicativas de los números reales.

Dada una ecuación es importante encontrar el valor de la incógnita a través de un proceso de solución. El procedimiento sustenta su metodología en las propiedades de los números reales tales como el inverso aditivo (la resta) y multiplicativo (la división) de los números.

Las diferentes formas en las que se encuentran este tipo de ecuaciones son:

Tomando en cuenta el tipo de ecuación y las operaciones opuestas se tienen los siguientes métodos de solución.

La incógnita solo se encuentra en un solo lado de la igualdad

La incógnita solo se encuentra 5x – 30 = -45 . El proceso de despeje es el siguiente:

1. Aplicar propiedad aditiva, sumando 30 en ambos miembros de la igualdad. Se realizan las respectivas sumas.

2. Aplicar propiedad multiplicativa, multiplicando por un quinto (equivalente a dividir entre 5) ambos miembros de la igualdad. Se realizan las respectivas divisiones.

3. Se tiene la solución

4. Se comprueba, para ello se sustituye el valor encontrado en la ecuación inicial y si satisface la igualdad entonces el valor encontrado es el correcto

La incógnita solo se encuentra en un lado o miembro de la igualdad

Como ejemplo resolvamos la ecuación 4x – 9 = 2x + 18 . El proceso de solución es el siguiente:

1. Colocar del lado izquierdo de la igualdad, a la incógnita y del lado derecho los valores numéricos, con operaciones
   opuestas.

2. Reducir términos semejantes.

3. Trasponer los términos con operación opuesta. Se tiene la solución.

4. Se comprueba, para ello se sustituye el valor encontrado en la ecuación inicial y si satisface la igualdad entonces el valor
encontrado es el correcto.

NOTA: Trasponer: mover de lugar un elemento de la igualdad, hacia el lado contrario.

La incógnita se encuentra en una fracción

Resolvamos la ecuación:

El proceso de despeje es el siguiente:

1. Subir los términos de los denominadores a través de las operaciones opuesta.

2. Se realizan operaciones y se reducen, colocando todas las incógnitas del lado izquierdo de la igualdad y a la derecha
los valores numéricos, (con operaciones opuestas +,-).

3. Se reducen términos semejantes

4. Se quitan los términos que faltan para despejar a x, con operación opuesta. Se tiene la solución.

Para comprobar, se sustituye el valor de x en la ecuación inicial.

Representación gráfica de una ecuación lineal

LA clave para poder representar gráficamente una ecuación lineal es considerar la relación existente entre dos variables, de tal forma que una de ellas depende de la otra. La interpretación de una ecuación como una función nos permitirá comprender este tipo de relaciones.

¿Es lo mismo ecuación que función? Una primera diferencia, muy importante, es la época de origen de ambas nociones; mientras que el concepto de ecuación se utiliza desde al menos 300 años aC y estudiado por los griegos en ese tiempo, la noción matemática de función empezó a desarrollarse en el siglo XIV tomando como base las ideas de medición y representación gráfica de las variaciones de ciertas magnitudes como la temperatura en los cuerpos y la velocidad de un móvil.

Estudiar de manera global el comportamiento de un fenómeno considerando toda sus posibles variaciones es la finalidad principal del uso de funciones; en cambio, las ecuaciones se aplican de forma local para describir o calcular la dimensión de
una magnitud en un instante determinado.

La variabilidad es el concepto que logró romper el enfoque estático de la matemática, para mostrarte esto de manera sencilla analicemos la siguiente noticia publicada el 03 de abril de 2013 en los periódicos de los periódicos del D.F: » Este miércoles aumentan las tarifas del transporte público en el D.F., la tarifa de micros, autobuses y metrobús aumentarán un peso, mientras que el banderazo de taxi libre será de $8.74 y $1.07 más por cada 250 metros o 45 segundos».

Centrémonos en el kilometraje, suponiendo que el tráfico es fluido (algo prácticamente imposible en el D.F. durante las horas pico) ¿Cuánto cobrará un taxista por cada kilómetro de viaje? En efecto, $4.28 (1.07 x 4 = 4.28).

Si tenemos $100, ¿qué distancia podría recorrer en este tipo de taxis? Para responder esta pregunta, consideremos x para representar la incógnita, la distancia recorrida. Así la ecuación que modela el problema es: 4.28x + 8.74 = 100. Luego:

Es decir, con $100 se podrían recorrer 21.32 kilómetros.

Lo que hicimos fue plantear y resolver una ecuación lineal con una incógnita, pensando sólo en la posibilidad de tener $100. Ahora, pensemos en la variabilidad de la cantidad de dinero que necesitan las personas usuarias de este tipo de taxis para
recorrer: 5, 10, 15 y 20 km

En la ecuación: 4.28x + 8.74 + 100 habría que sustituir x por cada uno de los kilometrajes para obtener el monto a pagar por cada cliente, ya no será 100, el costo de cada viaje será distinto, será una variable que representaremos por y, de tal manera
que:

4.28x + 8.74 = y

A continuación se muestran los valores de y correspondientes a 5, 10, 15 y 20 km.

Observa que lo hecho anteriormente consistió en sustituir los valores de x y calcular los de y a través de la función dada. A este proceso se le conoce como tabulación y con él podremos obtener el gráfico en el plano cartesiano ubicando las parejas de valores de distancia y costo:

La gráfica de una función lineal puede utilizarse para resolver ecuaciones lineales que le correspondan a ella.

Ejemplo: Si consideramos que un productor de café siembra las cerezas de este grano y sabe que en promedio se producen 11500 kg por hectárea, con esta información contesta la siguiente pregunta, ¿cuántos hectáreas debe plantar de cereza
de café para cubrir un pedido de 60 mil kilogramos, si se ha asociado con su compadre que ya tiene en existencia 2500 kg?

Solución:

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas I. Ciudad de México.