Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Las tostadas son un emblemático símbolo de la comida Mexicana, platillo típico poblano; el cual puede ser de pollo, carne de res, queso o tinga. Para los equipos de la escuela resulta una actividad de festejo después de cada partido ir a comer unas ricas tostadas.

El equipo de futbol compró 6 tostadas y 8 refrescos por $108 y el equipo de básquet pagó $146.5 por 8 tostadas y 11 refrescos. El equipo de la porra llego más tarde y pregunto a los integrantes de los equipos ¿Cuál es precio de cada tostada y de cada refresco? Como respuesta sólo recibió la información anterior, halla el precio individual tanto de las tostadas como de los refrescos. La solución se plantea a continuación.

Sea t precio de la tostada y r el precio del refresco:

Esto permite concluir que del problema del costo de las tostadas y refresco, resulta un sistema de ecuaciones lineales de dos por dos.

Otros ejemplos de sistemas lineales 2 × 2:

Para hallar las posibles soluciones del sistema lineal 2 × 2 que resultó del problema de las tostadas y otros que resulten de distintas situaciones de la vida cotidiana, se cuenta con diversos métodos de solución, el primero de ellos es el de Determinantes.

Método de determinantes

Para describir el método, es importante expresar al sistema como un arreglo matricial y el cálculo de los determinantes. Para ello, retomando el sistema:

Para encontrar las soluciones es preciso el cálculo de tres determinantes:

El determinante principal se obtiene con los coeficientes de las incógnitas:

Para el determinante auxiliar en x, se intercambia la columna de los coeficientes de la variable x por en los términos constantes del sistema:

Por último, el determinante auxiliar en y, se reemplazan los coeficientes de la variable y, por los valores contantes del sistema:

Por consiguiente:

El determinante principal, auxiliar en x y en y, permiten encontrar la solución del sistema de ecuaciones. Así, se tiene que las soluciones para t y r están dadas por los siguientes cocientes.

Lo anterior representa $8 el precio de la tostada y $7.5 el precio del refresco.

El siguiente procedimiento sintetiza el método de determinantes, dado un sistema lineal de 2 × 2:

Procedimiento de solución:

1. Calcular los determinantes.

2. Obtener el valor para x dividiendo el determinante en x entre el principal.

3. Se encuentra la solución para y, realizando la división del determinante de y entre el principal.

4. Comprobar soluciones.

Otro método para resolver estos sistemas de ecuaciones, es el de reducción que enseguida se explica.

Método de reducción

Si ahora, se tiene que las chicas de porras pidieron 5 huevos preparados y 9 jugos, junto con unos compañeros de escuela que pidieron 3 huevos y 7 jugos, las porristas y sus compañeros pagaron $119 y $81, respectivamente. ¿Cuál es el costo del huevo y del jugo?

Si x representa el costo del huevo preparado y y el precio del jugo, se plantea el siguiente sistema:

1. Para resolverlo por reducción se siguen los siguientes pasos:

2. Se suman ambas ecuaciones

3. Se despeja la incógnita y se encuentra su valor.

4. Esta cantidad se sustituyen en cualquiera de las dos ecuaciones

5. Se despeja lo otra incógnita, para hallar su valor.

6. Se comprueba.

Así, el costo del huevo es de $13 y el jugo de $6.

Método de igualación

Las chalupas son otro antojito típico poblano, que es parte de la alimentación mexicana. La familia Ruiz y la familia Pérez fueron a cenar chalupas con doña Lolita.

La primera familia pidió 8 órdenes de chalupas y 4 tazas de café pagando $128. La segunda familia solicitó 10 órdenes de chalupas y 6 tazas de café pagando $168. Al vecino de ambas familias le recomiendan las chalupas de doña Lolita, comentándole la información anterior pero no le dicen el precio unitario ¿Cuánto cuesta cada chalupa y cada taza de café? La solución es la siguiente:

Si x representa el costo de las chalupas y y el costo del café, esta situación tiene como representación el siguiente sistema de ecuaciones lineales de 2 × 2.

Para hallar el valor de x y y, te presento otro método que se conoce como igualación. Los pasos a seguir son los siguientes:

1. Se despejan de cada ecuación la incógnita que tu elijas, en este caso fue y.

2. Se igualan ambos despejes.
3. Se realizan las operaciones necesarias para despejar la incógnita que se tiene.

4. Se sustituye este valor en alguno de los dos primeros despejes, para hallar el valor de la segunda incógnita.

Con lo anterior es posible contestar al vecino de las dos familias, el costo de la orden de chalupas es de $12.00 y el café de $8.00.

Otro proceso de solución de sistemas de ecuaciones lineales es el descrito a continuación.

Método de sustitución

La leche es un alimento importante en nuestra alimentación. Según el periódico «El Sol de México» anunció que nuestro país ocupa el séptimo lugar mundial en producción de leche (García, 2013).

La granja de don Raúl realiza cada hora un envasado de 100 litros de leche en dos presentaciones, de 1.5 litros y de 2.5 litros, si en total llenan 52 botellas, ¿cuántas botellas de cada capacidad tienen? Si x representa el número de botellas de 1.5 l y y el número de botellas de 2.5 l, el problema se modela con el sistema:

El proceso de solución por sustitución es el siguiente:

1. Se despeja cualquiera de las incógnitas de alguna de las dos ecuaciones.

2. Se sustituye este valor en la segunda ecuación.

1.5x + 2.5(52 – x) = 100

3. Se realizan operaciones y se despeja la segunda incógnita.

4. Se sustituye este valor en el primer despeje, para encontrar el segundo valor desconocido.

Se concluye el proceso

Por lo tanto, el número de botellas de 1.5 litros es 30 y de 2.5 litros son 22. Comprobando esto se tiene 30 + 22 = 52 y que 1.5(30) + 2.5(22) = 45 + 55 = 100, se cumple las dos condiciones de problema.

El último de los métodos a estudiar en este bloque, para resolver sistema de ecuaciones lineales 2 × 2 es el siguiente.

Método gráfico

Recordar del bloque VI que es posible graficar una ecuación lineal en el plano cartesiano, para el caso de sistemas lineales 2 x 2 se graficarán ambas ecuaciones, obteniendo como resultado el trazo de dos rectas. Para realizar el gráfico de cada una de las ecuaciones del sistema, es necesario:

una de las ecuaciones del sistema, es necesario:

Es importante tomar en cuenta que hay una clasificación para los sistemas lineales 2 × 2, según el tipo de solución.

Así, retomando el sistema de la leche:

Para resolverlo por el método gráfico, se procede como sigue:

Tabulando y graficando:

Para este caso el sistema resulto compatible tiene una solución, pero ¿cuándo es que un sistema es incompatible? Obsérvese el siguiente caso.

SE observa en la gráfica que las rectas son paralelas y que no hay un punto en el que se intersecan, lo que permite concluir que el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución.

Otra situación que se puede tener al resolver un sistema de ecuaciones lineales, es que las soluciones sean indeterminadas, ejemplo de ello es las soluciones del siguiente sistema:

Es claro que las dos ecuaciones son equivalentes, y por tanto, los valores coinciden en todos sus puntos y en la gráfica una recta queda sobre la otra, indicando esto que tiene un número infinito de soluciones.

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas I. Ciudad de México.