Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas

Así como los babilonios, los griegos y chinos plantearon en su época sistemas de tres ecuaciones e inventaron métodos para darles solución. Te invitamos ahora a utilizar lo estudiado en los bloques anteriores para plantear un sistema que represente o modele la siguiente situación real.

La edad de tres amigos es 25 años, además la edad del tercero menos el segundo es 3 y el tercero menos el primero es 2. ¿Cuál es la edad de cada amigo? Si x representa la edad del menor, y la edad del mediano y z la edad de la mayor, esta situación se puede modelar con un sistema de tres ecuaciones lineales:

Es importante recordar que al igual que en los sistemas de ecuaciones lineales de dos por dos, si tienen una sola solución son compatibles, si tiene infinitas soluciones son indeterminados o si no hay solución son incompatibles.

Método de determinantes

Al igual que en el método de determinantes de 2 x 2, se tiene que definir como encontrar los determinantes det_p, det_x, det_y y det_z, retomando la representación matricial del problema de las edades, obtenemos:

Una vez obtenidos los determinantes, se procede a calcular el valor de las variables desconocidas:

Por lo tanto las edades de son 8, 7 y 10 años que sumados dan 25 años. Esto permite concluir que el sistema es compatible en una solución única.

Método eliminación reducción (suma y resta)

Consideremos el mismo problema que involucra la edad de tres amigos, pero ahora supongamos que la suma de sus edades es 65 años además, la edad del tercero menos la edad del segundo es 2 años y la edad del tercero menos la edad del primero
es 8 años. ¿Cuál es la edad de cada amigo?

Si x representa la edad del primero; y la edad del segundo y z la edad del tercero el problema se modela con el siguiente sistema de ecuaciones lineales 3 × 3:

Dado un sistema de ecuaciones lineales de tres incógnitas es posible encontrar una solución, infinitas soluciones o ninguna solución, en este apartado se describe el método de suma y resta. En seguida te presentamos los pasos a seguir:

1. Multiplica la primera y segunda ecuación por un número de tal forma que al sumar las dos ecuaciones, una variable se elimine, en este caso z.

2. Ahora se toman la segunda y tercera ecuación para multiplicarse por un número de tal manera que al sumarlas se
elimine la variable z.

3. Multiplica por un número las ecuaciones resultantes, marcadas con 1 y 2, para sumarlas y eliminar la variable x, posteriormente despejar y.

4. Sustituye y en la ecuación 2 y despejar x.

Sustituye y y x en alguna de las ecuaciones principales del sistema y despejar z.

Las edades son:

Este sistema resulto ser compatible, ya que se encontró una solución.

Con la intención de que practiques y consolides el método para resolver un sistema de ecuaciones lineales 3 × 3, observa un ejemplo más:

1. Multiplica la primera y segunda ecuación por un número de tal forma que al sumar las dos ecuaciones una variable
   se elimine.

2. Ahora se toman las segunda y tercera ecuación se multiplican por un número de tal manera que al sumarlas se elimine
la variables y.

3. Multiplica por un número las ecuaciones resultantes, marcadas con 1 y 2, para sumarlas y eliminar la variable y y
posteriormente despejar z.

4. Sustituye z en la ecuación 2 y despejar y.

5. Sustituye y y z en alguna de las ecuaciones principales del sistema y despejar x.

6. Se obtienen y comprueban las soluciones.

Un sistema con una única solución, por lo tanto, compatible.

Gráfica de un sistema de ecuaciones lineales de 3 incógnitas

Recuerda que en el bloque VII, un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas se representa gráficamente con dos rectas que pueden ser paralelas o cruzarse en un punto o coincidir en todos sus puntos, originando con ello que el sistema no
tenga solución o una solución o infinitas soluciones.

Así como un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2 se plasma gráficamente en un plano cartesiano de dos dimensiones a través de los ejes X y Y, para plasmar la representación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales 3 x 3 se necesita el sistema cartesiano tridimensional de Fermat que consiste en un espacio formado por la intersección de tres rectas en un ángulo de 90°, los ejes X, Y y Z.

La representación gráfica de una ecuación lineal con dos variables es una línea recta, pero la representación gráfica de una ecuación lineal con tres variables no resulta ser una recta, sino un plano.

Ejemplo de distintos planos que no son más que ecuaciones lineales con tres incógnitas, son las paredes de tu escuela o de tu casa.

La gráfica de la ecuación x + 2y – z = 4 representa el plano de la siguiente figura.

Se observa de los gráficos de distintos planos que estos se intersectan en una recta o en un plano o en un punto, lo cual permite visualizar las posibles soluciones, recuerda que en los sistemas lineales de dos por dos la intersección o no intersección proporcionaba la solución o no solución del sistema, por consiguiente se tiene que un sistema lineal 3 × 3 cuenta con:

Para graficar un sistema lineal de tres por tres

Y poder encontrar el valor de las incógnitas, primero se despeja de las tres ecuaciones la misma variable, puede ser cualquiera de las tres, en este caso, despejaremos a la variable z.

Posteriormente se grafican en el plano en el plano tridimensional (x,y,x).

Al observar el grafico de los planos, se tiene que el punto de intersección de los tres planos resulta ser el punto (-4, 6, 1). Concluyendo que el sistema es compatible.

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas I. Ciudad de México.