Ecuaciones cuadráticas incompletas triviales

En este bloque utilizaremos las operaciones aritméticas y algebraicas básicas (suma, resta, multiplicación, división, potencia y raíz), ellas son la base del proceso para resolver ecuaciones, tanto lineales como cuadráticas.

Para demostrarte lo anterior, te invitamos a resolver los siguientes acertijos matemáticos:

a) Encuentra el número de peras en una canasta, ese número al elevarlo al cuadrado te da como resultado cero.
b) Determina el número que al elevarlo al cuadrado y multiplicarlo por nueve te dé como resultado cero.
c) ¿Cuál es el número cuyo cuadrado multiplicado por menos seis te da como resultado cero?

¿La respuesta que encontraste para todos los acertijos fue la misma? ¿Acaso cero?
Así es, la respuesta para estos acertijos es cero. Quizás te estés preguntando: ¿y esto a que se debe?

Analicemos algebraicamente el trasfondo de los tres acertijos, nombremos al número desconocido en los tres casos como x, su traducción algebraica sería:

Las tres ecuaciones que hemos obtenido se pueden resolver únicamente si a la variable representada por x le asignamos el valor cero.

Ésta solución la podemos obtener con los principios o normas que rigen un despeje de ecuaciones, observa:

Las ecuaciones cuadráticas de este tipo siempre tendrán como solución el número cero, por esta razón se les llama ecuaciones cuadráticas incompletas triviales.

Ecuaciones cuadráticas incompletas puras

En esta sección avanzaremos en el estudio de las ecuaciones cuadráticas incompletas, este tipo de ecuaciones lo podemos utilizar en situaciones donde desconocemos algunos datos para llegar a la solución, por ejemplo:

Para una huerta, es común medir el terreno a utilizar en hectáreas. Si se ha destinados un cuadrangular con una superficie de una hectáreas ¿Cuál es la longitud de cada uno de sus lados?

En otras palabras, ¿Cuál es el número que al elevarlo al cuadrado da como resultado 10000?

Si llamas a cada lado del terreno cuadrangular como x, para representar al número desconocido obtenemos la ecuación:

Observar que, matemáticamente, las dos soluciones: 100 y -100 cumple que elevarlas al cuadrado se obtiene 10000.

Pero, considerando nuestro problema de hallar la longitud de cada lado del terreno cuadrangular, la opción que se ajusta a la realidad es:

x₁ = +100

Es decir, cada lado del cuadrado mide 100 metros.

Otra manera de resolver la ecuación cuadrática x² = 10000 se basa en la factorización de una diferencia de cuadrados:

Primero igualamos a cero:

x² – 10000 = 0

Factorizando como diferencia de cuadrados, obtenemos:

(x – 100)(x + 100) = 0

Para que el resultado de una multiplicación sea cero, al menos uno de sus factores tiene que ser cero. A lo anterior se le conoce como Factor Cero.

Aplicando el Teorema del Factor Cero:

x – 100 = 0 ó x + 100 = 0
x₁ = 100 ó x₂ = -100

Hemos obtenido las mismas soluciones que cuando se aplicó la raíz cuadrada.

En general una ecuación de la forma ax² + c = 0 se puede resolver despejando x.

Ecuaciones cuadráticas incompletas mixtas

El tercer y último tipo de ecuación cuadrática incompleta es el mixto, en esta sección estudiaremos su forma general y la manera de encontrar sus soluciones. Para ello te invitamos a analizar la siguiente situación:

El precio, en pesos, de cada kilogramo de manzana verde o roja es igual a la solución distinta de cero de las ecuaciones cuadráticas mixtas mostradas en cada caso.

¿Qué resulta más caro? ¿Comprar un kilogramo de manzanas rojas o verdes? Para poder contestar la pregunta anterior, resolvamos las ecuaciones cuadráticas escritas en cada caso, observa que ambas tienen un término cuadrático y un término
lineal dependiendo de la misma variable representada por x. Haremos uso del caso de factorización por término común que ya estudiamos en el bloque IV.

Para resolver la ecuación 7x² = 147x Igualamos a cero:

7x² – 147x = 0

Factorizamos considerando a 7x como el factor común, obteniendo:

7x(x – 21) = 0

Aplicando el Teorema del Factor Cero:

7x = 0 ó x = 21

Por lo tanto, resolviendo ambas ecuaciones lineales obtenemos:

X₁ = 0 ó x = 21

Interpretando las soluciones, deducimos que el precio de las manzanas verdes es de $21.00.

De manera similar, resolvamos la ecuación 3x² – 54x = 0 para determinar el precio de las manzanas rojas. Tomando a 3x como factor común obtenemos:

3x(x – 18) = 0

Por tanto, aplicando el Teorema del Factor Cero y despejando:

x₁ = 0 ó x₂ =18

El precio de las manzanas rojas es de $18.00

Ecuaciones cuadráticas completas

En esta sección estudiaremos los elementos y soluciones de las ecuaciones cuadráticas completas, retomaremos la factorización de trinomios de la forma:

^ax2 + bx + c

Esta forma es la base del método de solución más usado para este tipo de ecuaciones. Analicemos la siguiente situación:

Álamo Temapache es un municipio de Veracruz reconocido como la «capital mundial de los cítricos» por su producción anual de cerca de un millón de toneladas de naranjas.

Un cultivador de naranjas de esta zona compra un pequeño terreno rectangular con 3 metros más de largo que de
ancho y con una superficie de 70 metros cuadrados para utilizarlo como bodega; desea construir las paredes y necesita
saber el perímetro del terreno. ¿Cuántos metros lineales debe considerar para la barda?

Para problemas relacionados con la Geometría resulta conveniente trazar un bosquejo y así obtener una idea más clara de la situación involucrada en el problema. En este caso, el bosquejo sería el siguiente:

Llamemos a la longitud desconocida del ancho x, así, x + 3 representa la longitud del largo. Y como el área del terreno es de 70 m² multiplicamos la base por la altura para obtener:

x(x + 3) = 70

Multiplicando: x² + 3x = 70
Igualando a cero: x² + 3x – 70 = 0

Observa que la ecuación anterior ya no corresponde a ninguna de las formas generales de las ecuaciones cuadráticas incompletas ya estudiadas, se trata de una ecuación cuadrática completa, tiene tres términos llamados: cuadrático, lineal e independiente.

Para resolver este tipo de ecuaciones utilizaremos la factorización de trinomios de la forma ax² + bx +c.
Retomando la ecuación x² + 3x – 70 = 0 la resolveremos de la siguiente manera:

Factorizando la expresión en el miembro izquierdo tenemos:

(x + 10 )(x – 7) = 0

Usando el teorema del factor cero:

x + 10 = ó x – 7 = 0

Despejando en ambas ecuaciones x, las soluciones son:

x = -10 ó x =7

Interpretando las dos soluciones, descartamos la negativa (porque no hay distancia o extensiones negativas) y verificaremos x = 7 es la adecuada para dar solución al problema planteado.

Es decir, el ancho del terreno rectangular será de 7 metros y el largo de 10 metros lo cual cumple con los 70 metros cuadrados de área.

Por lo tanto, el perímetro del terreno será de 2(7) + 2(10) = 34 metros lineales.

Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas

Para resolver cualquier tipo de ecuación cuadrática, incompleta o completa, existe un recurso muy valioso: la fórmula general. Para obtener esta fórmula es importante recuperar el concepto de Trinomio Cuadrado Perfecto, ya que al completarlo y factorizarlo podemos obtener las soluciones de cualquier ecuación cuadrática, ya sea completa o incompleta.

Método completando el Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP). Recordemos que si tenemos una expresión de la forma:

Es decir, el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, completaremos el TCP. Teniendo entonces que:

Aplicando este concepto resolvamos la ecuación anterior por este método:

Pasando el término independiente al segundo miembro de la ecuación:

Factorizando el TCP:

Despejando:

Las ecuaciones resultantes:

Despejando:

De manera general, resolvamos la siguiente ecuación completando el trinomio cuadrado perfecto:

Observa lo escrito en color rojo, es lo que se va realizando en cada paso de acuerdo a las explicaciones anteriores:

Ecuaciones cuadráticas con soluciones complejas

Siempre que elevamos cualquier número real al cuadrado obtenemos como resultado un número positivo, por ejemplo:

Es decir, no existe un número real cuyo cuadrado sea un número negativo. Observemos la situación anterior al intentar resolver la siguiente ecuación cuadrática pura:

Resolver esta ecuación implica encontrar un valor para x que elevado al cuadrado dé como resultado -1. Dentro de los números reales este valor no existe.

Para resolver este tipo de ecuaciones se definen otro tipo de números llamados complejos los cuales se basan en la unidad imaginaria i cuyo cuadrado:

Un número complejo tiene una parte real y una imaginaria, su forma es:

a + bi

Donde a y b son números reales, a representa la parte real y b la imaginaria.

Es decir, todos los números reales son complejos. El conjunto de los números reales es subconjunto del de los números
complejos.

De esta manera, la solución de la ecuación x_² = – 1 es x = i

Analicemos la ecuación pura 6x² + 24 = 0

Despejando:

Ahora, analicemos una ecuación cuadrática completa x² – 6x + 10 = 0

Recordemos la fórmula general:

Sustituyendo los valores de los coeficientes a = 1, b = – 6, c = 10 :

Resolviendo operaciones:

Discriminante de una ecuación cuadrática

Con frecuencia, desafortunadamente, el significado asociado a la palabra discriminar es el de rechazar o «hacer menos» a una persona por sus características físicas, tales como su estatura, color de piel o peso. Sin embargo, discriminar también significa diferenciar o distinguir una cosa de otra.

Una ecuación cuadrática escrita en su forma general ax² + bx + c = 0 , tiene como discriminante:

D = b² – 4ac

El discriminante nos servirá para distinguir su tipo de soluciones. Sin resolver una ecuación cuadrática, a través de su discriminante sabremos si sus soluciones son reales o complejas.

Si observamos, podremos reconocer al discriminante como una parte de la fórmula general:

En la siguiente tabla mostramos los tres casos del valor del discriminante.

Un caso interesante es el que resulta de analizar el discriminante de ecuaciones cuadráticas incompletas del tipo mixto, observa:

Dada ax² + bx = 0 , su discriminante D = b² – 4ac se reduce a D = b² (recuerda que en una ecuación mixta el término independiente es igual a cero) y como b² siempre será positivo, entonces no existen raíces complejas para este tipo de ecuaciones.

Del caso trivial ax² = 0 tenemos que su discriminante es D = 0, por tanto este tipo de ecuaciones tampoco tendrán raíces complejas, además ya sabemos que su solución siempre es cero.

Así, podemos decir que los dos tipos de ecuaciones cuadráticas que pueden tener raíces complejas son las completas y las incompletas puras.

Por ejemplo, para la ecuación pura 3x² + 18 = 0

Su discriminante tiene el valor: D = (0)² -4(3)(18) = -216

Como el discriminante es negativo, la ecuación tiene dos raíces complejas.

Para la ecuación completa x² – 3x + 5 = 0

Su discriminante tiene el valor:

D = (-3)² -4(1)(5) = -11

Como el discriminante es negativo, la ecuación tiene dos raíces complejas.

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas I. Ciudad de México.