Parábola, gráfico de funciones cuadráticas

Cuando lanzamos un objeto su trayectoria podría ser recta si no existiera el efecto de la gravitación para hacerle caer, una parábola es la curva simétrica que representa esta trayectoria, como se muestra en la situación siguiente:

Supongamos que en un partido de voleibol se ha calculado que la distancia d, en metros, a la que se encuentra el balón sobre el piso en el tiempo t segundos está dada por:

d(t ) = -4.9t² + 9.8t

De la misma manera que tabulamos y graficamos una función lineal lo haremos para esta función cuadrática, asignaremos valores a la variable independiente tiempo (t) y calcularemos a través de la regla de correspondencia los valores de d y con estos se tendrán las coordenadas para localizarlas en un plano cartesiano.

El uso de la parábola es diverso, pues en muchas ciencias se aplica, como en la Física ya que su forma corresponde a las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia de la gravedad.

Tres elementos de una parábola son: vértice, eje de simetría y brazos o ramas.

El vértice es el punto máximo o mínimo de la parábola dependiendo de su orientación, la abscisa de este punto se puede calcular con la fórmula:

y la ordenada, evaluando la función de la parábola en éste valor, es decir:

El eje de simetría, que divide por la mitad a la parábola, se puede describir a través de la ecuación de la recta:

Retomando la gráfica de la función que describe la altura del balón de voleibol, su vértice lo podemos determinar haciendo uso de la fórmula anterior:

La orientación de una parábola depende del signo del coeficiente del término cuadrático ax², si a > 0 parábola abre hacia arriba y si a < 0 parábola abre hacia abajo.

Soluciones de ecuaciones cuadráticas identificadas en las parábolas

Hemos visto que una función cuadrática de la forma y = ax² +bx +c tiene su representación gráfica en el plano cartesiano a través de una parábola. Cuando a se le asigna el valor cero obtenemos 0 = ax² +bx +c que es su correspondiente ecuación cuadrática, las soluciones de esta ecuación coinciden con los puntos de intersección entre la parábola y el eje X. Reconsiderando la situación analizada de la altura del balón de voleibol determinada por la función d(t) = -4.9t² + 9.8t, transformando su ecuación obtenemos 0 = -4.9t² + 9.8t cuyas soluciones obtenemos con el siguiente procedimiento.

Factorizando:

0 = – 4.9t² + 9.8t
0 = – 4.9t(t – 2)

Aplicando el teorema del factor cero:

Como se observa en el gráfico estos puntos, (0,0) y (2,0) son los que intersectan el eje X.

En general, el gráfico de una función de la forma y = ax² +bx +c tendrá cero, una o dos intersecciones con el eje X dependiendo del número de soluciones reales que tenga su ecuación correspondiente. Es decir, la parábola se podrá no intersectar con el eje X, o bien, lo hará en uno o dos puntos.

Retomaremos los casos de ecuaciones cuadráticas tanto incompletas como completas, también haremos uso del proceso de tabulación de una función para lograr el gráfico que les representen.

Iniciemos con las ecuaciones cuadráticas incompletas triviales, aquellas que sólo tienen el término cuadrático igualado a cero, por ejemplo x² = 0 como toda ecuación trivial sabemos que su solución es x = 0, para transformar esta ecuación a una función basta cambiar el cero por una segunda variable representada por y con la finalidad de lograr la relación entre esas dos variables.

Ecuación x² = 0, función y = x², de la misma manera que tabulamos y graficamos una función lineal lo haremos para esta función cuadrática, asignaremos valores a la variable independiente representada por x y calcularemos a través de la regla de correspondencia los valores de y y con estos se tendrán las coordenadas para poder localizarlas en un plano cartesiano.

Nota que la parábola se intersecta con el eje X en el origen de coordenadas (0, 0), lo cual hace coincidir la abscisa de este punto con la solución de la ecuación x² = 0. Recuerda, si una ecuación cuadrática tiene una solución real entonces el gráfico de la función correspondiente se intersectará en un punto con el eje X.

Ahora abordemos el caso de las ecuaciones cuadráticas incompletas puras a través del análisis de la siguiente situación:

Determinemos el gráfico de la trayectoria que describe una pelota arrojada desde una altura de 25m. La función y = x² + 25 determina la distancia entre la pelota y el piso en el tiempo x segundos.

Tabulemos y grafiquemos la trayectoria para x = 0,1,2,3,4,5.

Observa que para valores negativos de x, matemáticamente, la gráfica existe pero no tiene una interpretación real pues se interpretaría como retroceso en el tiempo, lo cual no es posible. Si resolvemos la ecuación pura 0 = – x² + 25 obtenemos sus raíces x₁ = 5 y x₂ = 5 mismas que coinciden con las abscisas de los dos puntos de intersección con el eje X: (-5, 0) y (5, 0); dos raíces reales, dos intersecciones.

Para el caso de ecuaciones cuadráticas completas tenemos el siguiente planteamiento: la altura de un proyectil en metros, para t segundos está dada por:

y = – 5x² + 40x + 1.2

Tabulemos y grafiquemos la trayectoria de su movimiento.

Como se observa en la gráfica se tienen dos intersecciones de la parábola con el eje X en los puntos (0,0) y (8,0), cuyas abscisas son las soluciones reales de la ecuación respectiva.

Para el caso de ecuaciones cuadráticas con soluciones complejas resolveremos la ecuación:

0 = x² + x + 4
Y graficaremos la función:
y = x² + x + 4

Como observamos en la gráfica no existen intersecciones de la función con el eje X y al resolver la ecuación obtenemos las soluciones:

Las anteriores soluciones son complejas, por lo tanto, no aparecen en un eje de coordenadas de números reales.

Transformación de y = ax² +bx + c a y = a(x – h)² + k

En esta última sección el propósito central será transformar una función cuadrática expresada en forma general:

y = ax² + bx + c

A la forma estándar o de vértice:

y = a(x – h)² + k

Para mostrarte como se realiza dicha transformación, retomemos una vez más la función dada anteriormente para determinar la altura a la que se encuentra el balón en un partido de voleibol.

La función propuesta equivalente a:

y = ax² + bx + c
es
d = – 4.9t² + 9.8t

El procedimiento a seguir para llegar a la forma estándar y = a(x – h)² + k es el siguiente:

Sacando factor común:

d = -4.9(t² + 2t)

Completando el trinomio cuadrado perfecto:

d = – 4.9(t² + 2t + 1) + 4.9

Factorizando el trinomio: d = – 4.9(t + 1)² + 4.9

Por comparación de esta función de forma estándar se pueden encontrar las coordenadas del vértice (h,k) que son V(1, 4.9).

Con lo aprendido en el bloque IX y X se puede realizar el análisis de una función cuadrática que abarca los siguientes puntos:

Dada la función cuadrática y = x² – 6x + 8, determinaremos:

• Hacia donde se abre la gráfica de la función (concavidad). Observamos que:

a = 1 a > 0

Entonces la parábola abre hacia arriba.

• La intersección con el eje Y. Para obtener el punto donde se intersecta la parábola con el eje Y se asigna el valor de cero a la variable x:

y = 0² – 6(0) + 8 = 8

Por tanto, la intersección con el eje Y en este caso se da en el punto (0, 8).

• Las intersecciones con el eje X (ceros o raíces de la función). Se obtienen resolviendo la ecuación correspondiente:

0 = x² – 6x + 8
0 =(x – 4)(x – 2)
X₁= 4 x₁= 2

• La ecuación en la forma vértice o estándar:

y = x² – 6x + 8
y =(x² – 6x + 9) + 8 – 9
y = (x – 3)² – 1

• Las coordenadas del vértice. Leyendo las coordenadas en la ecuación en la forma vértice: V(3, -1).
• El valor máximo o mínimo de la función. En este caso es el valor mínimo y su valor es el de la ordenada del vértice: y = -1
• La ecuación del eje de simetría. x = 3
• Traza la gráfica de la función. A través de este análisis además de tener más claro el comportamiento de la función se puede obtener su gráfico sin necesidad de realizar la tabulación como se hizo en los ejercicios anteriores.

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas I. Ciudad de México.