Ángulos

Los ángulos son una herramienta necesaria en diversas situaciones. Estas van desde cálculos de corte científico, como por ejemplo saber la dirección que una nave espacial debe tomar para cruzar la atmósfera terrestre, hasta para la forma en la que deben colocarse las butacas y la pantalla en una sala de cine que permita la visibilidad de los asistentes de forma adecuada, o el ángulo que debe tomar una bola de billar para lograr un tiro efectivo.

Las semirrectas AC y AB se denominan lado inicial y lado terminal, respectivamente, y el punto A , de intersección de los lados, se llama vértice. Existen diferentes formas de notación para los ángulos. Las más comunes son: la notación de tres letras y la notación del vértice.

Notación de tres letras

Ten en cuenta, que la letra para el vértice debe quedar en medio.

Notación del vértice

Si no hay ambigüedad acerca del ángulo que pertenece a un vértice, puede emplearse la notación simplificada en la que después del símbolo angular se escribe la letra correspondiente al vértice del ángulo. En la figura 1.5, el ángulo representado se denota como ∠A. Esta notación es particularmente útil cuando se trabaja con triángulos.

En la figura 1.6, se muestran los tres ángulos interiores del triángulo ABC, donde los ángulos pueden denotarse de la siguiente manera:

Notación de la medida angular

Para denotar la medida de un ángulo se antepone la letra “m” a la notación del ángulo. De este modo, para representar la medida del ángulo A se escribe la expresión m∠A , que se lee “medida del ángulo A”.

Es importante señalar la diferencia entre el objeto geométrico y su medida. El ángulo es el objeto geométrico al que se hace referencia en la solución de un problema y su medida es el valor numérico de la abertura entre los lados del mismo, que se utiliza en los cálculos. Es frecuente que se utilice la medida de un ángulo como el ángulo mismo, pero es importante señalar que son conceptos diferentes.

En la figura 1.7 se muestra un polígono cuyos vértices son los puntos A, B, C y D.

En cada vértice hay un ángulo marcado en color rojo, por ejemplo, en el vértice A se localiza el ángulo ∠BAD y su medida está representada por la letra griega alfa, de modo que m∠BAD =α =128° . Para efectos de cálculo se acostumbra escribir “el ángulo α ” para referirse al ángulo BAD y también es común la expresión α =128° para decir que el ángulo con vértice en A mide 128°; sin embargo, estas expresiones hacen referencia a la medida y no al ángulo.

La mayoría de los textos de geometría representan la medida de un ángulo empleando letras del alfabeto griego, que pueden utilizarse los símbolos θ (theta), α (alfa), β (betha), etcétera.

Clasificación de los ángulos

Los ángulos pueden ser clasificados de acuerdo con los siguientes criterios:

1. Por el sentido de giro que da lugar al ángulo:

a) Negativos. Se generan en sentido horario, que es el mismo del movimiento de las manecillas del reloj (figura 1.9).

b) Positivos. Se generan en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (figura 1.10).

2. Por la medida del ángulo:

a) Nulo. Su medida es de cero grados: θ = 0º (figura 1.11).

b) Agudo. Su medida es mayor que 0º pero menor de 90º. 0º <θ < 90º (figura 1.12).

c) Recto. Mide 90º. θ = 90º (figura 1.13).

d) Obtuso. Su medida es mayor de 90º pero menor de 180º. 90º <θ <180º (figura 1.14).

e) Llano. Mide 180º. θ =180º (figura 1.15).

f) Cóncavo o entrante. Su medida es mayor de 180º pero menor de 360º (figura 1.16).

g) Perigonal o completo. Mide 360º. θ = 360º (figura 1.17).

3. Por su relación con otros ángulos:

a) Adyacentes o consecutivos. Son dos ángulos que tienen un lado en común. (figuras 1.18a y 1.18b).

b) No adyacentes. Aquellos que no tienen lados en común o que no comparten el vértice. (figura 1.19).

c) Opuestos por el vértice. Son ángulos que se obtienen por la intersección de dos rectas no paralelas de modo que ambos tengan lados inicial y terminal en las mismas rectas. De este modo, en la figura 1.20, α es opuesto por el vértice de α ‘ teniendo ambos a L₁ como lado inicial y a L₂ como lado terminal. Asimismo, β es opuesto por el vértice de β ‘ , pues ambos tienen a L₂ como lado inicial y a L₁ como lado terminal. Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida. Por tanto, α =α ‘ y β = β.

4. Por la suma de sus medidas:

a) Complementarios. Son ángulos cuya suma de medidas es 90º. α + β = 90º

b) Suplementarios. Son ángulos cuya suma de medidas es 180º. α + β =180º

Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal

Si cortas dos rectas paralelas por una transversal, como se muestra en la siguiente figura, se forman ocho ángulos, de los cuales hay cuatro ángulos agudos iguales entre sí y cuatro ángulos obtusos iguales entre sí, que se clasifican de la siguiente manera: ángulos opuestos por el vértice; ángulos internos alternos; ángulos alternos externos y ángulos correspondientes.

Observa la figura 1.23. En ella se muestra un sistema de ocho ángulos, entre los cuales se pueden establecer las siguientes relaciones:

Triángulos

Un triángulo es una figura cerrada que tiene tres lados y tres ángulos. Algunos lo definen como polígono de tres ángulos (partiendo de su raíz etimológica). Generalmente empleamos el símbolo Δ y las letras de sus vértices para referirnos a un triángulo, por ejemplo: ΔABC hace referencia al triángulo cuyos vértices son los puntos A, B y C, respectivamente.

Existen anécdotas sobre triángulos, algunas de ellas célebres, ¿conoces alguna? El “triángulo de las Bermudas”, enigmático y misterioso; el “triángulo de Pascal”, poderoso y útil; los triángulos en las caras de las pirámides de Egipto, monumentales y llenos de ciencia e historia; en fin, existen muchos ejemplos que pueden motivarte a desarrollar ideas que tienen que ver con el triángulo, su definición, clasificación, propiedades fundamentales y diversas aplicaciones en contextos diferentes.

Clasificación de los triángulos

Los triángulos pueden ser clasificados de acuerdo con los siguientes criterios:

1. Por la medida de sus lados:

a) Equilátero. Es el que tiene sus tres lados iguales.

b) Isósceles. Tiene dos lados iguales y el tercero diferente a ellos.

c) Escaleno. Tiene sus tres lados de diferente medida.

2. Por la abertura de sus ángulos:

a) Rectángulo. Tiene un ángulo interior recto y los otros dos agudos.

b) Acutángulo. Tiene sus tres ángulos interiores agudos.

c) Obtusángulo. Tiene un ángulo interior obtuso y los otros dos agudos.

Lo importante es distinguir las partes principales del triángulo: lados, ángulos, vértices y, desde luego, la sección del plano que delimitan sus lados, es decir: su superficie. El triángulo es también cada punto que se encuentra dentro de él.

Propiedades relativas de los triángulos

1. El triángulo es el polígono más simple.
2. El triángulo no tiene diagonales.
3. Tres puntos no alineados (colineales) forman siempre un triángulo.
4. Todo polígono puede ser dividido por medio de triángulos. Para un polígono de n lados se requieren como mínimo n − 2 triángulos.
5. La suma de dos lados siempre es mayor que el tercero y la diferencia entre dos lados es siempre menor que el tercero (desigualdad triangular).
6. La suma de todos los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180° (figura 1.43).

7. La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es igual a 360° (figura 1.44).

8. En todo triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales y viceversa (figura 1.45).

9. Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60° (figura 1.46)

10. En todo triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto (90°) se llama hipotenusa y los lados adyacentes al ángulo recto se denominan catetos. La hipotenusa es mayor que los catetos; en consecuencia, el lado de mayor medida del triángulo.
11. En todo triángulo rectángulo los catetos son base y altura, respectivamente.
12. En un triángulo rectángulo isósceles cada uno de sus ángulos agudos mide 45°.
13. Los lados de cualquier triángulo rectángulo obedecen el enunciado del teorema de Pitágoras, que dice que “el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.
14. En un triángulo isósceles, la altura que corresponde a la base (lado desigual) también es mediana, bisectriz y mediatriz del triángulo.

15.En todo triángulo rectángulo, el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices.

16. En todo triángulo rectángulo, la altura del ángulo recto lo divide en dos triángulos semejantes entre sí y, a su vez, semejantes con él.
17. En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a éste.

Todas estas propiedades pueden ser demostradas y empleadas en la solución de problemas. De hecho, en bloques siguientes se demuestran y se emplean algunas de ellas.

Ejemplos:

1. Demuestra que la suma de ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180°.

2. Demuestra que la medida de un ángulo exterior de un triángulo cualquiera es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a dicho ángulo exterior.

3. Determina el valor de x de la figura 1.51.

Solución:

4. En un triángulo isósceles los lados iguales miden el doble de la base, ¿cuánto mide la base, si el perímetro es de 75 cm?

6. Si los tres ángulos interiores del triángulo ABC miden x° , ¿qué tipo de triángulo
   es ABC? Solución:

7. Si los ángulos interiores del triángulo ABC son (4x)°, (3x)° y (2x)°, respectivamente, ¿cuánto miden sus ángulos exteriores? Construye la gráfica del triángulo ABC.

8. En la figura 1.55 se muestra un banderín de «Las chivas». Con base en la información proporcionada, determina su área.

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas II. Ciudad de México.