Matemáticas de preparatoria

Problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras

Segmentos proporcionales y teorema de Tales

En esta sesión se abordan los elementos previos a la semejanza de triángulos; los segmentos proporcionales y el teorema de Tales. Ambos elementos están íntimamente relacionados con el concepto de semejanza de triángulos y con diversas
situaciones que se presentan diariamente.

Ejemplo 1:

En una caja hay 5 manzanas y 3 mangos, en otra caja hay 10 manzanas y 6 mangos. ¿Son proporcionales las cantidades de manzanas y mangos en ambas cajas?

Solución:

La primera caja tiene una razón de manzanas a mangos de 5:3. La segunda:10:6. Si las cajas tienen cantidades proporcionales se debe cumplir la propiedad fundamental de las proporciones. Por lo tanto: La proporción 5:3 :: 10:6 debe satisfacer la condición: (5)(6) = (3)(10), es decir, 30 = 30, que demuestra que las cantidades en ambas cajas sí son proporcionales.

Ejemplo 2:

Si los ángulos agudos de un triángulo rectángulo están a razón 3:2 (figura 3.2) ¿Cuáles son sus medidas?

Figura 3.2

Solución:

En la antigüedad, el filósofo griego Tales de Mileto (624-547 aC) diseñó, a partir de observaciones simples, un método para medir elementos que le resultaban curiosos. Por ejemplo: las pirámides de Egipto, los árboles que lo rodeaban, e incluso las alturas de algunos de sus conciudadanos que obtenía utilizando segmentos proporcionales. Al realizar los cortes en sus zanahorias (o probablemente algún elemento que tuviera a su disposición), descubrió las bases de lo que conocemos actualmente como teorema de Tales. Dicho teorema establece lo siguiente: “Si tres o más paralelas cortan a dos transversales o secantes, determinan en ellas segmentos correspondientes proporcionales”. Este teorema lo verás representado en la figura 3.3.

Figura 3.3

Ejemplo 3:

¿Cuál es el valor de x en la figura 3.4?

Solución:

En algunas ocasiones es conveniente expresar los resultados como fracciones o expresiones radicales; es decir, no siempre debes convertir tus resultados a números decimales.

Teorema de Tales aplicado a triángulos

El teorema de Tales bien puede aplicarse a triángulos tomando dos de sus lados como secantes o transversales y trazando los segmentos de división paralelos a la base. De esta forma se obtiene el teorema:

“Toda paralela a uno de los lados de un triángulo divide a los otros dos lados en segmentos proporcionales”.

Esto lo puedes observar en la figura 3.5.

Algunos autores refieren el teorema anterior como el de Tales, otros le llaman teorema fundamental de la proporción. Lo importante es que te des cuenta que es un caso particular del teorema de Tales y descubrir la forma en la que puedes emplearlo para resolver diversas situaciones. En semejanza es fundamental identificar la correspondencia de los lados, es decir, cuáles son los lados que se corresponden.

A éstos les llamamos lados homólogos de la figura, los cuales son aquellos que se oponen a los ángulos iguales. Para el presente ejemplo de la figura 3.5, tenemos

Figura 3.6

Otro caso particular del teorema de Tales, se enuncia de la siguiente manera:

“Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes entre sí”.

Semejanza de triángulos

Si cada centímetro de dibujo que hagamos representa tres metros de la realidad, ¿de qué tamaño dibujarías un tronco de un árbol, que en la realidad mide 28 metros?

La semejanza entre dos elementos se da precisamente cuando lo que varía entre ellos es su dimensión, es decir; la forma básica no cambia, solamente se altera el tamaño.

Criterios de semejanza de triángulos

Para distinguir los criterios de congruencia y semejanza utilizaremos letras minúsculas para designar estos últimos.

Criterio 1: LLL (lado-lado-lado)

Si los tres lados de un triángulo son proporcionales, éstos son semejantes. Se muestra en la figura 3.13.

Figura 3.13

Criterio 2: LAL (lado-ángulo-lado)

Si dos triángulos tienen un par de lados proporcionales y el ángulo comprendido entre esos lados es congruente en ambos casos, los triángulos son semejantes. Se muestra en la figura 3.14.

Figura 3.14

Criterio 3: AA (ángulo-ángulo)

Si dos triángulos tienen dos parejas de ángulos congruentes entre ellos, significa que son semejantes. Se muestra en la figura 3.15.

Figura 3.15

Aunque estos criterios se utilizan para afirmar que dos triángulos son semejantes entre sí, para comprobarlo se utilizan las propiedades de los triángulos congruentes.

Para resolver estos diferentes tipos de problemas que requiere determinar la longitud de los lados de los triángulos involucrados, es importante identificar las afirmaciones iniciales que se conocen.

Ahora te presentamos algunos ejemplos de aplicación de la semejanza geométrica.

Ejemplo 1: Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.9 m. Esto muestra la figura 3.16.

Solución:

Figura 3.16

Ejemplo 3: En la figura 3.18, se observa la parte baja de un acantilado y el objetivo es medir la distancia que hay de pared a pared del mismo, en la parte más alta de cada lado. Supongamos también que no es posible medir la distancia requerida de la manera tradicional: ¿cómo resolver la situación?

Figura 3.18

Solución:

Teorema de Pitágoras

Este teorema surge de la relación entre los lados de un triángulo rectángulo. Para entender el procedimiento de este teorema es necesario recordar algunos conceptos importantes.

Ahora te presentamos la aplicación de este teorema en situaciones prácticas en los siguientes ejercicios:

Ejemplo 1: En la figura 3.21 halla la longitud de la diagonal de un rectángulo cuyas dimensiones son 3 y 7 m, respectivamente.

Solución:

Ejemplo 2: En el siguiente triángulo (figura 3.22) calcula el valor de la incógnita aplicando el teorema de Pitágoras.

Ejemplo 3: Eduardo necesita subirse a la azotea de su casa, la cual tiene 7 m de alto. Para ello debe valerse de una escalera cuya base o pie de escalera debe estar a 2 m de distancia de la pared por motivos de seguridad. ¿Qué longitud debe tener la escalera para que Eduardo pueda alcanzar la azotea?

Solución:

Ejemplo 4: En la figura 3.23 se tiene un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 6 y su base mide 8 ¿Cuál es el valor del área del triángulo?

Solución:

Figura 3.24

Solución:

Ejemplo 6: Determina el valor de las variables en la figura 3.25.

Solución:

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas II. Ciudad de México.