Matemáticas de preparatoria

Propiedades de los polígonos

Reconocimiento de las propiedades de los polígonos

Si observas a tu alrededor, las paredes, los techos, el piso, el pizarrón, las bancas, las sillas, las puertas, … en fin, lo que te rodea, verás muchas cosas; pero lo importante es que observes que tiene lados rectos y circulares, las cuales al unirse representan figuras como rectángulos, cuadrados, círculos, triángulos, entre otras. Y no solo en tu salón puedes apreciar estas formas, en tus clases de química orgánica, cuando veas el tema de hidrocarburos cíclicos, observarás las siguientes cadenas cerradas o cíclicas.

Como estas figuras están formadas por líneas definidas les llamamos polígonos o figuras planas. ¿Ahora reconoces la importancia del estudio de los polígonos o figuras planas? ¿Reconoces que no es lo mismo la figura del pizarrón, que las losetas del piso, ni tampoco el foco? ¿En qué son diferentes? ¿Qué diferencias marcarías en las diferentes figuras que observas? Conversa con alguno de tus compañeros sobre las respuestas a estas interrogantes y finalmente exprésenlas a todo el grupo.

Polígonos regulares

Un polígono es una figura plana, cerrada, formada por lados rectos. Las anteriores figuras y muchas otras más son polígonos.

Por la medida de sus lados, los polígonos pueden ser regulares o irregulares. En la figura 4.2 se presentan algunos polígonos regulares:

Figura 4.2

Observando los polígonos que aparecen en la figura 4.2 puedes darte cuenta que tanto sus lados como sus ángulos son iguales. Esta es la característica más importante de los polígonos regulares. De este modo, el primer polígono regular es el triángulo regular, denominado triángulo equilátero, que está formado por tres lados y ángulos iguales; le siguen el cuadrado (formado por cuatro lados y ángulos iguales), el pentágono (de cinco lados y ángulos iguales), el hexágono (de seis lados y ángulos iguales), el heptágono (de siete lados y ángulos iguales), el octágono (de ocho lados y ángulos iguales), el eneágono (de nueve lados y ángulos iguales), el decágono (de diez lados y ángulos iguales) y así sucesivamente.

Los polígonos irregulares no tienen ángulos y lados iguales, tal es el caso del triángulo isósceles, el triángulo escaleno, el rectángulo, romboide, trapecio, trapezoide y en general cualquier polígono de lados y ángulos diferentes. La figura 4.3 muestra algunos de los polígonos irregulares:

Figura 4.3
Figura 4.4

La primera característica que podemos mencionar es que los polígonos se forman con segmentos rectos unidos por sus extremos de dos a dos; como podrás observar en la figura 4.4.

Al trazar un polígono comienzas desde un lado inicial continuando el trazo de cada lado unido por un vértice hasta terminar uniendo el lado final con el inicial. Ahora, ¿cuáles son los elementos importantes que diferencian a unos polígonos de otros?

Mira con atención la figura 4.5, en ella se muestran los elementos principales de un polígono, los cuales describiremos a continuación.

Figura 4.5
  • Lados. Son los segmentos rectilíneos que unen dos vértices del polígono. Del número de lados depende el nombre: triángulo (3 lados), cuadrilátero (4 lados), pentágono (5 lados), hexágono (6 lados), etc.
  • Ángulo central. Este ángulo se forma por las rectas que unen el centro con dos vértices consecutivos.
  • Ángulo interno. Es el ángulo interior que se forma con dos lados consecutivos.
  • Diagonal. Segmento rectilíneo que une dos vértices no consecutivos.
  • Vértice. Punto de intersección de dos lados.
  • Centro. Punto equidistante de los vértices del polígono.
  • Ángulo externo. Ángulo suplementario del ángulo interno. Se forma con un lado y la prolongación del lado que comparte el mismo vértice.
  • Apotema. Segmento rectilíneo perpendicular trazado desde el centro hasta el punto medio de cualquier lado.

Propiedades de los polígonos

Primeramente mencionaremos que una propiedad es el atributo o cualidad esencial de alguien o algo. De acuerdo con nuestro tema, es la cualidad de los polígonos.

Primera propiedad

Numéricamente los lados, vértices, ángulos interiores, ángulos exteriores y ángulos centrales son iguales. En la figura 4.6 se muestra esta propiedad.

Figura 4.6

Entonces, como en la figura anterior, si realizas una figura de 6 lados tendrás:

  • 6 vértices
  • 6 lados
  • ángulos interiores
  • ángulos exteriores
  • ángulos centrales

Segunda propiedad

En la figura 4.7 se observa que a partir de un vértice de un polígono se pueden trazar un número definido de diagonales en función del número de lados.

Figura 4.7

Podemos darnos cuenta que la diferencia entre el número de lados del polígono y la cantidad de diagonales que se pueden trazar desde uno de sus vértices es 3, por lo que se puede afirmar que el número de diagonales ( nD ) que se pueden trazar en el polígono de n lados desde cualquiera de sus vértices está dado por la expresión: nD= n − 3.

Ejemplo: ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice en un octágono?
Solución: De acuerdo con la segunda propiedad:

nD= 8 − 3 = 5

La figura 4.8 muestra la veracidad de esto.

Figura 4.8

Tercera propiedad

El número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono es:

Aplicando a los resultados obtenidos se tiene que:

Para el pentágono:

Cuarta propiedad

Al trazar diagonales desde un mismo vértice se obtiene (n ─ 2) triángulos.
Ver figura 4.10.

Esto es: nt= n − 2 triángulos.
En la figura vemos que:

Figura 4.10

Nos damos cuenta de que la diferencia entre el número de lados del polígono ( n ) y el número de triángulos desde uno de sus vértices (nt) es dos, por lo que se comprueba la cuarta propiedad. Así es, si trazamos las diagonales desde cualquier vértice de un polígono, obtenemos 2 triángulos menos que el número de lados que tenga el polígono.

Quinta propiedad

Sexta propiedad

La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono es 360°.

Lo puedes observar en la figura 4.13.

Un ángulo exterior es un ángulo suplementario del ángulo interior.

Figura 4.13

Séptima propiedad

Al unir un punto de un lado con los vértices opuestos se obtienen (n ─ 1) triángulos. Esto lo puedes ver en la figura 4.14, en la que se obtuvieron (6 ─ 1) = 5 triángulos.

Figura 4.14

Octava propiedad

Al unir un punto interior cualquiera con los vértices se obtiene “ n ” triángulos. Esto lo puedes ver en la figura 4.15.
Nota importante: Los triángulos no son iguales.

Figura 4.15

Por último, acerca de los polígonos regulares, como el que se muestra en la figura 4.16, podemos afirmar que tienen las siguientes características:

  1. El centro de un polígono regular es un punto equidistante de todos los vértices del polígono.
  2. Los polígonos se pueden dividir en triángulos cuyos lados son un lado del polígono y los dos segmentos que unen el centro y los vértices del lado (radios).
  3. El apotema es el segmento que une el centro y la mitad de cada lado del polígono.
  4. El radio es el segmento que une el centro y cada vértice.
  5. Todo polígono regular tiene una circunferencia inscrita de radio igual a su apotema y una circunferencia circunscrita de radio igual al segmento que une el centro con uno de los vértices.
Figura 4.16

Perímetros y áreas de polígonos

Observa las siguientes imágenes y verás las formas de algunos polígonos.

Perímetro de un polígono

El perímetro de cualquier polígono de n lados, regular o irregular, se obtiene sumando las medidas de sus lados, esto es:

Donde l1 es la medida del primer lado, l2 la del segundo lado, 3 l la del tercero, y así sucesivamente. Si el polígono es regular: P = n ⋅ l

Área de los polígonos

El área de cualquier polígono regular de n lados se obtiene con la mitad del producto de su perímetro por su apotema. La fórmula para el área es:

Demostración:

Sin embargo, también se pueden aplicar las siguientes fórmulas:

Figura 4.18

En resumen:

Ejemplos 1: Calcular el área y perímetro de un cuadrado de 15 cm de longitud por lado.
Solución:

Ejemplo 2: Calcular el área y perímetro de un pentágono que tiene lados de 8 cm de longitud y apotema de 6 cm.

Solución:

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas II. Ciudad de México.