Definición de circunferencia

La circunferencia y sus propiedades han sido tema de discusión, reflexión y estudio durante muchos años. Desde la antigüedad, los dedicados a realizar cálculos observaron una relación estrecha entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro. En el siglo XVII dicha relación recibió el nombre de Pi (π), el cual proviene del vocablo que los antiguos griegos le daban al perímetro del círculo: peripheria.

Seguramente en cursos básicos de Matemáticas tuviste contacto con este término e incluso lo empleaste para realizar algunos cálculos; sin embargo, sólo para descubrir su comportamiento, comprender el tema y la dinámica de la evolución del número.

Al definir la circunferencia como un lugar geométrico, damos por entendido que se encuentra formada por una infinidad de puntos que cumplen la propiedad especificada. El término equidistante significa que un conjunto de puntos están a la misma distancia de un punto llamado centro, como se puede ver en la figura 5.4

Para referirnos a una circunferencia, utilizaremos de preferencia la letra C.

Círculo

El círculo es una figura plana limitada por una curva cerrada que también forma parte de él, llamada circunferencia (figura 5.5).

Elementos de la circunferencia y sus relaciones

Los elementos y rectas o segmentos de recta relacionados con una circunferencia se muestran en la tabla siguiente:

Ahora analizaremos algunos aspectos referentes a la propia circunferencia y a la relación que guarda con otras circunferencias, de diferente diámetro, que pueden dibujarse en su interior o exterior.

Ángulos que se forman en una circunferencia

En este apartado abordaremos el tema de los ángulos relacionados o derivados de la circunferencia, y comprobaremos la importancia que tienen por sus diversas aplicaciones académicas, profesionales y científicas. Imagínate que una nave espacial quiere regresar a la Tierra y lo hace verticalmente a la atmósfera, ¿te imaginas qué pasaría? También en alguna ocasión habrás visto una lluvia de estrellas o al menos oído que un “x” día va a haber lluvia de estrellas, ¿te has preguntado qué es?, ¿crees que llueven estrellas?

Desde luego que sería muy bueno que investigaras la respuesta a estas interrogantes para que tengas un conocimiento más amplio y consciente de la naturaleza de la circunferencia. Un ángulo se puede trazar desde diferentes puntos en la circunferencia, los trazos más importantes son:

Perímetro y área de una circunferencia

La circunferencia ha jugado un papel importante en nuestras vidas, ya que la aplicación de sus propiedades las observamos en el diseño y construcción de llantas, además de rines para todo tipo de vehículos, en envases, recipientes, en discos de música, en lentes por mencionar algunos ejemplos.

Vamos a definir al perímetro de la circunferencia como el contorno del círculo que contiene un espacio, superficie o área y que posee una longitud, la cual se obtiene de multiplicar dos veces la medida de su radio o una vez la medida de su diámetro por un número irracional llamado “pi”. Este número se simboliza con la letra griega π, la cual proviene de la inicial de las palabras de origen griego περιφέρεια ‘periferia’ y περίμετρον ‘perímetro’ de una circunferencia. Esta notación fue utilizada primero por William Oughtred (1574-1660), y propuesto su uso por el matemático galés William Jones (1675-1749), aunque fue el matemático Leonhard Euler, con su obra Introducción al cálculo infinitesimal, de 1748, quien la popularizó. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (que no se debe confundir con el número de Arquímedes).

Se trata de un número irracional, lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761 (o 1767). También es un número trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros. En el siglo XIX el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró este hecho, cerrando con ello definitivamente la permanente y ardua investigación acerca del problema de la cuadratura del círculo indicando que no tiene solución.

También se sabe que π tampoco es un número, de Liouville (Mahler, 16 1953), es decir, no sólo es trascendental sino que no puede ser aproximado por una secuencia de números racionales. A pesar de tratarse de un número irracional, se sigue averiguando la máxima cantidad posible de decimales. Los 50 primeros son:

π ≈ 3.1415926535897932384626433832795028849716939937510

En ciencia e ingeniería esta constante puede emplearse, la mayoría de las veces, con una precisión de sólo una docena de decimales. Con 50 decimales se podría describir con precisión la curvatura del Universo con un error más pequeño que el tamaño de un protón.

Como te has dado cuenta, π es un número que expresa la relación entre el diámetro de la circunferencia y la longitud de la misma. Dicho en términos más comprensibles: π es el número de veces que el diámetro se subtiende sobre la circunferencia.

Quiere decir que π multiplicado por la longitud del diámetro es igual a la longitud de la circunferencia (llamado perímetro).

Para esto será necesario considerar a π = 3.1416
Ahora, si conocemos el perímetro de una circunferencia, como se muestra en la figura 5.21, podremos calcular el diámetro o el radio de la manera siguiente:

En el caso de la circunferencia, el radio es la recta perpendicular a la tangente; por lo tanto, resulta que el radio es la apotema de la misma; entonces, sustituyendo, tendremos:

Concluimos que el área de una circunferencia se calcula multiplicando, 3.1416 por el cuadrado de la longitud del radio.

A =π ⋅ r ²

Aplicando las fórmulas de área y perímetro en los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1: Calcular el área de una circunferencia que tiene un radio de 7 cm.

Solución:

Ejemplo 2: Calcular el diámetro de una circunferencia que tiene un área de 100 cm².
Solución:

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas II. Ciudad de México.