Unidades de medición de ángulos

La trigonometría, cuyo término significa “medición de los triángulos”, es la rama de las matemáticas que nos ayuda a comprender las relaciones que se presentan entre los ángulos y los lados de un triángulo. Sin embargo, y como verás ubicaremos al triángulo y algunas de las relaciones trigonométricas básicas en contextos diferentes, tales como en la medición de alturas, áreas y perímetros de casas, terrenos, canchas deportivas, en el diseño y construcción de muebles, ventanas, puertas, desagües, entre otros.

Analizaremos dos de los principales sistemas de medición de ángulos: la angular y la circular; es decir, aquellas que tienen que ver con grados y radianes. ¿Qué características tiene la medición de ángulos? y ¿cuál es la unidad de medición de los ángulos que conoces?

En realidad, hasta el momento contamos con el transportador como el instrumento que nos permite establecer la medida de un ángulo en grados. Analicemos a continuación las unidades de medida, así como la relación entre ellas.

Medida angular

Para realizar cualquier medición debemos comparar el objeto a medir con un referente o patrón que sirve como medida. En el caso de los ángulos podemos optar por varias unidades de medición. En este caso particular emplearemos el grado. Éste es conocido como la medida angular o el sistema de medición sexagesimal, que se conoce con la siguiente simbología:

1° = 60’, se lee: un grado equivale a 60 minutos.
1’ = 60’’, se lee: un minuto es igual a 60 segundos.

Para entender cómo se llega a convertir una medida de grados al sistema decimal, te presentamos unos ejemplos:

En un taller donde se elaboran piezas mecánicas para autos existen dos tipos de máquinas: la A y la B. La máquina A se emplea para realizar cortes a diferentes ángulos de piezas de acero, por lo que se requiere que la medida angular se realice en el sistema sexagesimal (° ’ ”), y la máquina B se emplea para realizar dobleces a diferentes ángulos de piezas de acero, por lo que se requiere que la medida angular se realice en grados en forma decimal.

Ejemplo 1: Se nos ha pedido realizar en la máquina A los siguientes cortes, por lo que será necesario expresar la medida angular en sistema sexagesimal.

a) Primera pieza, un corte a 30 grados. Solución:

b) Segunda pieza, dos cortes: uno de 45°67’70” y el otro de 121°40’. Solución:

Ejemplo 2: Se nos ha pedido realizar en la máquina B los siguientes dobleces, por lo que será necesario expresar la medida angular en grados en forma decimal:

a) La primera pieza se doblará en el extremo izquierdo a razón de 55º30’.

Medida circular

Un radián (rad) se define como la medida del ángulo central de un círculo, al cual le corresponde un arco cuya longitud es igual al radio del círculo.

En la figura 6.2, se muestran las equivalencias de los ángulos en la unidad de radián, que es la unidad matemática para la medición angular. El ángulo en color lila tiene una medida de un radián. Sabemos que el diámetro de la circunferencia se puede colocar sobre el perímetro de ella de modo que se cumple que:

es decir, el diámetro de la circunferencia cabe en su perímetro π veces.
Esto significa que si colocamos diámetros sobre el perímetro de la circunferencia podremos colocar 3 diámetros completos y faltará una curva de longitud = 0.14159265…, como se muestra en la figura 6.2; que define el valor de la constante π.

Dado que el diámetro mide lo que dos radios, entonces en el perímetro de la circunferencia caben 2π radianes. De este modo podemos establecer una relación de equivalencia de las medidas angulares entre grados y radianes:

Veamos algunos ejemplos del uso de estas equivalencias.

Ejemplo 1: Hoy le enseñaron a Pedro en Geometría, que para calcular la longitud del arco (s) de una circunferencia se realiza el producto entre el ángulo expresado en radianes por el radio de la circunferencia. Fórmula: s = θ (r). Pedro investigó en su libro de Física que el radio medio de la Tierra es de 6,371 km.

a) Determinar la longitud del arco de la Tierra para 45º.

Solución:

b) Determinar la longitud del arco de la Tierra para 30°.

Solución:

Funciones trigonométricas

Es momento de revisar los elementos que nos permitan relacionar los ángulos y los lados de un triángulo. En Geometría establecimos algunas de las relaciones básicas, sin embargo, no hacían referencia a la obtención de la medida de los ángulos de un triángulo, a partir de las medidas de los lados (salvo en algunos casos muy particulares como el triángulo equilátero).

Recordarás que la única herramienta que permitía obtener la medida de algún lado en la sección de Geometría es el teorema de Pitágoras, que trabaja a partir de dos lados y no relaciona los ángulos del triángulo. Las aplicaciones de las herramientas que vamos a desarrollar en la presente sesión son diversas. Lo mismo podemos calcular distancias, longitudes o medidas que ubicaciones, orientaciones o simplemente ángulos de un triángulo.

A lo largo de la historia se han desarrollado diversas teorías sobre la aplicación de las funciones trigonométricas y de cómo hacer para abordarlas con los estudiantes, de tal forma que el aprendizaje de las mismas resulte significativo. Por ejemplo: cuando observas el ecualizador de tu estéreo al escuchar tu música favorita, cuando observas las olas del mar. Imagina que tienes hermanos pequeños y les quieres construir una resbaladilla, ¿cómo calcularías la altura y su longitud?, ¿qué separación tendría entre las escaleras y los soportes que la sujetan?

A continuación abordaremos las relaciones entre estos elementos.

Funciones trigonométricas de un ángulo agudo

Recuerda que un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos que son complementarios. Los lados perpendiculares se llaman catetos y el mayor de los lados se denomina hipotenusa. Lo puedes ver en la figura 6.3. Tomando como referente el triángulo rectángulo ΔABC de la figura 6.3, se pueden establecer seis razones entre sus lados, siendo éstas:

Esto lo puedes ver en la figura 6.4:

Es así como las relaciones anteriores se llaman razones trigonométricas recíprocas, las cuales nos permitirán hacer el cálculo de las tres primeras funciones trigonométricas del seno (sen), coseno (cos) y tangente (tan) denominadas directas y a partir de ellas determinar el valor de las otras tres. Para el ángulo β también se pueden definir las mismas seis funciones trigonométricas.

Al definir las razones trigonométricas, podemos observar que algunas guardan una relación con otras, siendo éstas: senA con cscA ; cosA con secA ; tanA con cotA.

La relación a la que hacemos referencia es la siguiente:

senA ∙ cscA = 1, cosA ∙ secA = 1, tanA ∙ cotA = 1

Lo anterior se debe a que las razones son inversos multiplicativos entre ellas, también llamados recíprocos.

Ejemplo 1: Un empleado de la Comisión Federal de Electricidad, coloca una escalera sobre la base de un poste de luz. En la imagen puedes observar el triángulo que se forma.

Si la longitud de la escalera es de 5 m, y la sec A = 2 , calcula las demás razones trigonométricas y la altura del punto B donde está apoyada la escalera sobre el poste.

Solución:

De lo anterior se desprende que, siendo A y B complementarios: sen A= cos B; tan A= cot B; sec A= csc B
A estas relaciones se les conoce como co-funciones de ángulos complementarios.

Las funciones trigonométricas que se aplican a los ángulos de un triángulo y sus cofunciones dan como resultado un número real.

c) Para calcular c, se puede utilizar la función seno, coseno y teorema de Pitágoras, debido a que ya se conoce el cateto opuesto y cateto adyacente del ángulo de 34º.

Funciones trigonométricas de 30° y 60°

Considerando el triángulo equilatero de la figura 6.9, que dividimos a través de su altura en dos triángulos rectángulos ADC y DBC, tenemos el triángulo rectángulo ADC, y aplicando el teorema de Pitágoras podemos hallar su hipotenusa de la siguiente manera:

A partir de este resultado y, utilizando el triángulo ADC, tenemos las siguientes funciones trigonométricas:

Funciones trigonométricas de 45°

Si observamos el cuadrado de la figura 6.10, encontramos que está dividido por una de sus diagonales, formando los triángulos ADC y ABC.

Funciones trigonométricas de 30°, 45° y 60°

Para lograr una mejor comprensión de los ángulos múltiplos de 30º, 45º y 60º, se debe analizar el comportamiento de cada ángulo en cada uno de los cuadrantes de un plano cartesiano, este análisis se puede realizar con todas las funciones trigonométricas.

Debes tener cuidado de que el triángulo sea rectángulo, y en el caso de situaciones reales, leer cuidadosamente y hacer una representación gráfica de la misma. Incluye en la gráfica los datos que resultan importantes para la solución.
Observa la figura 6.12.

Para determinar los valores de las funciones trigonométricas de ángulos múltiplos de 30º, 45º y 60º, se utilizan los valores de los ángulos de referencia para cada uno de los cuadrantes. Los valores de un múltiplo para el segundo cuadrante, siendo equivalentes a los valores del primer cuadrante obtenidos con la expresión α =180° − β , donde α se denomina ángulo de referencia. La expresión para el ángulo de referencia anterior es válida para el cuadrante II, exclusivamente. Para el cuadrante III el ángulo de referencia se calcula con r α = 270° − β =180º +β , en el cuarto cuadrante es ángulo de referencia es α = 360° − β

Ejemplo: Con apoyo de un triángulo equilátero calculamos las funciones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°. Posteriormente, con un triángulos rectángulo isósceles calcularemos las funciones para un ángulo de 45°, como se muestran en la figura 6.13.

Resolución de triángulos rectángulos y aplicaciones

Para la última parte del presente bloque aplicarás las funciones trigonométricas en la solución de problemas en los que se involucran triángulos rectángulos. Algunas de ellas son de carácter teórico, mientras que otras son de aplicación a entornos o
contextos reales.

Vas a requerir de los elementos descritos en los temas anteriores, debido a que el propósito del bloque es que uses las funciones trigonométricas de ángulos agudos, en la solución de problemas.

En la primera parte resolveremos triángulos rectángulos, que no es otra cosa que determinar las medidas de sus lados y ángulos. Para ello podemos emplear herramientas como el teorema de Pitágoras, las propiedades expuestas en geometría
para las diversas figuras y las propiedades de funciones trigonométricas, directas,
recíprocas y sus co-funciones.

Las siguientes consideraciones a seguir, serán la guía para resolver triángulos rectángulos.

1. Los elementos que a continuación se describen se emplean al resolver triángulos rectángulos.
   a) Debes tener cuidado de que el triángulo sea rectángulo, de otro modo no puedes aplicar el teorema de Pitágoras.
   b) En el caso de situaciones reales, leer cuidadosamente y hacer una representación gráfica de la misma. Incluye en la gráfica los datos que resultan importantes para la solución.
   c) Toma en cuenta los teoremas geométricos aplicables a ángulos, triángulos y demás figuras geométricas.
   d) Recuerda que las funciones trigonométricas trabajan con ángulos y representan un valor real.

2. Como las funciones trigonométricas a emplear contienen tres elementos del triángulo rectángulo, serán necesarios dos datos (además del ángulo recto) para trabajar con ellas.
3. El valor numérico de una razón trigonométrica obtiene mediante una calculadora científica. El procedimiento, a grandes rasgos, es el siguiente:

Ejemplo 1: Determinar el valor de sen 48º47´.

Los triángulos rectángulos tienen cinco elementos principales: los dos ángulos agudos y sus tres lados. De esta manera, es posible resolver el triángulo, si conocemos un lado y uno de sus ángulos, o bien, si conocemos la longitud de dos de sus lados.

Examinemos algunos problemas como ejemplos.

Ejemplo 1: Dado que los lados perpendiculares de un triángulo rectángulo miden 4 y 6, respectivamente, como se muestra en la figura 6.14, encuentra el valor de x.

Solución:

Ejemplo 2: Dado el ángulo A = 35° y b = 7 de un triángulo rectángulo, como se muestra en la figura 14, encuentre los valores del cateto a y el de la hipotenusa c.

Solución:

Ejemplo 3: Pipo sale de su casa muy temprano en dirección al este. Después de dar 15 pasos, gira en dirección norte; camina 20 pasos y se detiene a esperar el paso de los automóviles para cruzar la calle, como se muestra en la figura 6.16. En ese momento, ¿cuántos pasos lo separan de su casa y en qué dirección con respecto a ella se encuentra?

Como en la sugerencia b), a partir de la información podemos realizar la siguiente representación gráfica:

Solución:

Ejemplo 4: Determina el área de un octágono regular inscrito en una circunferencia de radio 15 cm, como se muestra en la figura 6.17.

Solución:

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas II. Ciudad de México.