Funciones trigonométricas en el plano cartesiano

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas se usan para definir un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (el espacio), perpendiculares entre sí, que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas se denominan abscisa y ordenada. La abscisa es la coordenada horizontal y se representa habitualmente por la letra x, mientras que la ordenada es la coordenada vertical y se representa por la letra y.

Las coordenadas cartesianas reciben ese nombre en honor a René Descartes (1596-1650), filósofo y matemático francés. Como creador de la Geometría analítica, Descartes también comenzó tomando un punto de partida en esta disciplina. El sistema de referencia cartesiano, para poder representar la Geometría plana, que usa sólo dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto denominado origen de coordenadas, es una figura fundamental en este curso. Los elementos del
plano cartesiano se muestran en la figura 7.1.

La abscisa de un punto, generalmente conocida como “coordenada x”, es la distancia desde el origen, en la dirección del eje x (horizontal), hasta el punto, considerando que hacia la derecha es positiva y hacia la izquierda es negativa. La ordenada de un punto, conocida como “coordenada y”, es la distancia desde el origen, en la dirección del eje y (vertical), hasta el punto, considerando que arriba es positiva y hacia abajo es negativa.

Los cuadrantes son las regiones del plano que contienen puntos con iguales signos de ambas coordenadas. Así, el cuadrante I contiene todos los puntos de ambas coordenadas positivas; es decir, los puntos del cuadrante I se localizan hacia la derecha y arriba del origen, como los puntos A y B de la figura anterior. En el cuadrante II se localizan todos los puntos de abscisa negativa y ordenada positiva; es decir, puntos que están hacia la izquierda y arriba del origen. Los puntos del cuadrante III tienen ambas coordenadas negativas por lo que se localizan hacia la izquierda y abajo del origen. Finalmente, el cuadrante IV contiene puntos de abscisa positiva y ordenada negativa; es decir, puntos que están hacia la derecha y abajo del origen.

Para localizar un punto en el plano cartesiano se asigna una letra mayúscula que lo identifique y, entre paréntesis, se escriben su abscisa y después su ordenada, separadas con una coma. De este modo, A(2,3) y B(3,2) representan dos puntos distintos del plano. Véase la figura 7.2.

Triángulos de referencia

Son triángulos que permiten relacionar puntos del plano con las relaciones trigonométricas de un ángulo, estudiadas anteriormente. La disposición de los triángulos de referencia para los cuatro cuadrantes se muestra en la siguiente figura 7.3.

En la figura anterior, los ángulos dentro de los triángulos (θ1, θ2, θ3 y θ4) se denominan ángulos de referencia, ya que los ángulos del plano que se representan en cada cuadrante son ángulos en posición normal (su lado inicial es la semirrecta positiva del eje x y su lado terminal es la hipotenusa del triángulo de referencia).

Las figuras 7.4, 7.5 y 7.6 muestran los ángulos reales (θ) y su relación con los ángulos de referencia (θR).

Puedes observar que los ángulos, en los diferentes cuadrantes, tienen características comunes que resumimos en la tabla 1:

De este modo, podemos integrar los conocimientos desarrollados hasta ahora para obtener expresiones de las funciones trigonométricas de ángulos en el plano cartesiano:

Del mismo modo que para determinar las características de los ángulos en cada cuadrante, es posible concluir que los signos de las funciones dependen de la posición del punto que define a un ángulo en el plano cartesiano. La tabla 2 muestra el signo de la función trigonométrica de un ángulo en función de su cuadrante.

Los siguientes ejemplos ilustran la forma de presentar estas relaciones.

Ejemplos 1: Uno de los puntos de la línea terminal de un ángulo es P(3,2). Determina los valores (exactos y aproximados) de sus seis funciones trigonométricas.

Solución:

2. Encuentra el valor del ángulo θ , cuyo lado terminal contiene al punto (2, 2).

Solución:

3. Se sabe que el seno de un ángulo es positivo y la tangente es negativa, ¿en qué rango se encuentra el valor del ángulo?

Solución:

Círculo unitario

Definimos la circunferencia unitaria como el lugar geométrico resultante de un punto que se mueve en el plano de modo que su distancia al origen es siempre iguala la unidad. Es decir, dentro de ella se define un círculo, que se denomina círculo
unitario.

Durante su movimiento, el punto define un ángulo por cada posición de su trayectoria y para cada una se puede construir un triángulo de referencia, como se muestra en la figura 7.7.

Así, para cada punto de la trayectoria circular se tienen las siguientes relaciones:

Si el radio es diferente de la unidad, el círculo se denomina círculo trigonométrico. Básicamente las aplicaciones del círculo unitario (o trigonométrico) son las mismas que las aplicaciones del triángulo de referencia estudiadas anteriormente; sin embargo, utilizaremos el círculo unitario para demostrar algunas identidades que son ser herramientas poderosas para la aplicación de las funciones trigonométricas.

Identidades fundamentales

Identidades de recíprocos o inversos multiplicativos

Una propiedad que tienen los inversos multiplicativos es que su producto da lugar al elemento neutro de la multiplicación, que es la unidad. Demostraremos que esto es verdad para las funciones de recíprocos.

Identidades de cociente

Identidad 4. Si dividimos seno entre coseno tenemos que:

Identidad 5. Si dividimos coseno entre seno tenemos que:

Identidades cuadráticas o pitagóricas

A partir de estas identidades fundamentales se pueden comprobar otras identidades o simplificar expresiones trigonométricas.
Para facilitar el proceso, una recomendación útil es que cambies las expresiones de modo que sólo aparezcan las funciones seno y coseno, así será más fácil la simplificación. Una vez que hayas practicado lo suficiente podrás abreviar pasos y
buscar otras estrategias. Los siguientes ejemplos muestran esto.

Gráficas de las funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente

La figura 7.8 muestra el círculo unitario, en ella puedes observar que los ángulos localizados en los ejes están determinados por los puntos A, B, C y D. Las funciones trigonométricas establecen una relación entre el ángulo asociado con un punto del círculo unitario y dos lados del triángulo de referencia para dicho ángulo. Esto significa que el valor de la función trigonométrica depende del ángulo y, asimismo, del punto que lo define.

Es posible representar gráficamente esta relación gracias a las definiciones estudiadas del círculo unitario.
A continuación se describen los procedimientos para graficar las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Gráfica de la función seno

Sabemos que senθ = y en el círculo unitario.

Esto es particularmente útil porque podemos conocer los valores exactos para los ángulos correspondientes a los ejes cartesianos, como se muestra en la tabla 4. Ahora bien, si definimos una nueva relación en la que la variable y toma el valor producido por la función seno para un ángulo x, entonces tenemos la relación y = sen x .

La variable toma valores dependiendo de los que sean asignados al ángulo (expresado en radianes porque es el sistema angular para los procedimientos matemáticos) de modo que, como se muestra en el círculo unitario, varían ascendentemente desde cero (para 0°) hasta 1 (para 90°); después decrecen desde 1 hasta cero (para 180°) y siguen decreciendo hasta –1 (para 270°); finalmente, crecen desde –1 hasta cero (para 360°). Esto se resume en la tabla 5:

Los datos anteriores, representados en el plano cartesiano, llevan a la siguiente gráfica de la figura 7.9:

Esta gráfica muestra que la función y = sen x tiene una altura máxima de 1 y una altura mínima de –1. El valor absoluto de esta altura máxima (o mínima) se denomina amplitud. La amplitud (A) de la función seno es 1. Esto se puede expresar de la siguiente manera: −1 ≤ sen x ≤1 , que significa que no existe ángulo alguno cuya función seno devuelva un valor absoluto mayor que 1. Si hubiéramos empleado ángulos mayores de 360° (o negativos) el comportamiento gráfico repetiría la onda en intervalos de 2π (o −2π ); por esto se dice que las funciones trigonométricas son periódicas.

La onda roja que define a la función seno recibe el nombre de senoide y el largo de esta onda se llama periodo (T ). Para la función seno T = 2π y su amplitud (A) es igual a 1. Una forma de representación gráfica común consiste en mostrar la gráfica de y = sen x junto con el círculo unitario, como en la figura 7.10.

Gráfica de la función coseno

Partimos de la definición de coseno en el círculo unitario y se tiene que:

Se desea graficar la relación y = cos x y haremos un procedimiento semejante al de la graficación de la función seno. La función coseno produce valores que disminuyen desde 1 (para 0°) hasta 0 (para 90°); siguen disminuyendo hasta –1 (para 180°); empiezan a crecer, pasando por cero (en 270°) hasta 1 (en 360°). Esto se resume en la tabla 7:

Esto, representado en el plano cartesiano, lleva a la siguiente gráfica de la figura 7.11:

Como se explicó en la función seno, vemos que los valores de la función coseno varían desde –1 hasta 1, para ángulos desde 0 (0°) hasta 2π (360°). Esto es:

−1 ≤ cos x ≤1 para 0 ≤ x ≤ 2π .

Para la función coseno, la curva que periódicamente se repite (en color rojo en la figura 11 se denomina cosenoide. Además, para coseno:

Amplitud: A =1
Periodo: T = 2π

De igual forma que para seno, la función coseno no puede ser tal que el valor devuelto por ella, en valor absoluto, sea mayor que 1. La representación gráfica que incluye al círculo unitario se presenta en la figura 7.12.

Gráfica de la función tangente

Partimos de la definición de tangente en el círculo unitario:

De la figura 7.13 se tiene que:

Esto se resume en la tabla 9.

La representación gráfica que incluye al círculo unitario se presenta en la siguiente figura 7.14

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas II. Ciudad de México.