Eventos aleatorios y deterministas

La ciencia en general estudia dos tipos de fenómenos, los deterministas y los aleatorios o al azar. Los eventos deterministas, son aquellos donde podemos predecir su resultado mediante leyes y fórmulas establecidas; por ejemplo, la temperatura de un cuerpo, la rapidez de un proyectil, por mencionar algunos.

Los eventos aleatorios o probabilísticos, son aquellos que pueden dar lugar a varios resultados sin que pueda ser predecible la ocurrencia del mismo; algunos ejemplos son las lluvias, los accidentes, las carreras de caballos, el lanzar una moneda. Los primeros estudios y el concepto de probabilidad nacen como una necesidad de estudiar la posibilidad de aciertos o fracasos en los juegos de azar. De aquí surge la teoría clásica o Probabilidad clásica de un evento aleatorio.

La probabilidad tiene aplicaciones en la Estadística inferencial, para prueba de hipótesis (evaluación de un producto), estimación de datos, y pronósticos de futuras observaciones; además de diversos campos del saber o de la vida del ser humano, como pueden ser las estadísticas de las carreras de autos o caballos, la eficacia de los medicamentos nuevos, si se mantiene la calidad de ciertos productos en un fábrica o industria, si se colocan nuevos artículos o se retiran otros del mercado, la evaluación de la calidad de un producto, por mencionar algunos ejemplos.

Un ejemplo de Estadística inferencial se puede ver en una fábrica de galletas donde se desea introducir un nuevo producto al mercado, para determinar su aceptación sería ilógico pretender que toda la población pruebe el producto. En este caso, se da a probar el producto a una muestra de consumidores y con base en los resultados de esa muestra se decide si se elabora o no.

Pues bien, como los resultados obtenidos a partir de una muestra difieren de los que se obtendrían si se le preguntara a la población total, existe un riesgo al tomar una decisión. En este caso se utiliza la probabilidad como una medida de evaluación del producto.

Experimento determinista y aleatorio

Experimentos deterministas. Son los experimentos cuyos resultados pueden ser anticipados con toda certeza y siempre se obtiene el mismo resultado. Por ejemplo: supongamos que ponemos al fuego un recipiente con agua, sabemos que ésta va a hervir y que además, el tiempo en el que alcanza el punto de ebullición dependerá de la temperatura, es decir, a mayor temperatura menor el tiempo de ebullición y viceversa. Otro ejemplo es si tiramos una piedra desde una montaña y/o desde un edificio de gran altura. Sabemos que caerá, incluso podremos predecir en qué parte del suelo caerá, dependiendo del ángulo y dirección del tiro que le demos.

Experimento aleatorio. Son los experimentos en los que no es posible adelantar el resultado con certeza. Por ejemplo: si se lanza un dado normal con caras marcadas del 1 al 6, desconocemos cuál de esos números aparecerá arriba; o si lanzamos una moneda tampoco sabremos con certeza cuál lado caerá. En los fenómenos o experimentos determinísticos podemos prever el resultado pero en los aleatorios no se puede prever el resultado debido a su naturaleza aleatoria, ya que se tienen varios resultados posibles. Otros conceptos básicos para el estudio de la Probabilidad son:

• Espacio muestral. Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se denota por E.
• Punto muestral. Es cada uno de los resultados del espacio muestral.
• Evento. Es el resultado que deseamos obtener al realizar una o varias veces un experimento.

Los espacios muestrales, a su vez, se dividen en: finitos e infinitos.

La determinación del espacio muestral de experimentos que implican una o dos repeticiones del mismo tipo son sencillos de obtener. Pero cuando se quiere conocer todos los resultados posibles de una serie de experimentos o repeticiones del mismo tipo de forma visible, se usa una técnica conocida como diagrama de árbol. La aplicación de este diagrama conduce metódicamente al espacio muestral que se quiere conocer.

Ejemplo 1: Se nos pide determinar el espacio muestral E, y el diagrama de árbol del evento, lanzar una moneda dos veces.

Diagrama de árbol:

Herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Solución:

Ejemplo 2: Se nos pide determinar el espacio muestral E y el diagrama de árbol del evento A×B ×C de los conjuntos A = {a,b,c} , B = {2,4}, C = {3,4,5} .

Solución:

Operaciones con eventos

Hasta el momento sólo hemos descrito eventos sencillos de un espacio muestral. Los eventos de mayor complejidad se obtienen al realizar operaciones con eventos, éstas describen las posibilidades de lograr un éxito o un fracaso. Por ejemplo, si un estudiante está cursando las materias de Matemáticas e Historia en el mismo cuatrimestre, de acuerdo con las estadísticas de la institución podemos determinar la probabilidad de aprobar al menos una materia, aprobar exactamente una materia, y reprobar las dos materias.

Sean A y B dos eventos pertenecientes a un espacio muestral al E, se definen las siguientes operaciones entre ellos:

Unión

Intersección

Complemento

Diferencia

Con estas operaciones básicas se pueden expresar espacios muestrales aún más complejos mediante la combinación de operaciones.

Ejemplo: Se lanza un dado común. Obtener el espacio muestral y los siguientes eventos:
a) Obtener un número par.
b) Obtener un número primo.
c) Obtener un número par o primo.
d) Obtener un número par y primo.
e) Obtener un número impar o no primo.

Solución:

Cálculo de probabilidades

Ya se han considerado las herramientas básicas de la probabilidad, ahora pasemos a definir de forma directa el concepto de probabilidad a través del siguiente ejemplo:

El informe meteorológico. Cierto día indica el noticiero que la probabilidad de lluvia para nuestra región es de 90%. Con esto entendemos que si bien puede que no llueva, es casi seguro que sí llueva, por lo que tomaremos nuestro paraguas al salir de casa. En cambio, nos informan que el pronóstico es de 50% para lluvia, entonces lo más seguro es que dudes en usar un paraguas, ya que tiene igual probabilidad de que llueva o no.

Propiedades que se usan para la probabilidad

• Propiedad 1. La probabilidad de un evento A no puede ser menor a cero ni mayor a uno. Esto se resume en forma matemática 0 ≤ P( A) ≤1. En general, la probabilidad de cualquier evento A que pertenezca a un espacio muestral E, sin importar el carácter o naturaleza del mismo, siempre estará entre 0 y 1.
• Propiedad 2. La probabilidad de todo el espacio muestral es igual a uno. Es decir: P (E) =1.
• Propiedad 3. La probabilidad de un evento nulo o sin elementos, es decir, que no cuenta con casos favorables dentro del espacio muestral, llamado vacío, es igual a cero. Esto es P (0) = 0 .

Cálculo de probabilidades clásicas

Se llama probabilidad a los números que reflejan la posibilidad de ocurrencia de hechos o sucesos. A un suceso muy probable, o altamente probable como, por ejemplo, la posibilidad de que llueva, se le considera muy ocurrente o viable y le correspondería una probabilidad muy alta. Mientras algo poco probable, como por ejemplo, un incendio, es algo que no se espera que ocurra y en consecuencia le correspondería una probabilidad muy baja. En una definición más formal, es medir el grado de certidumbre que existe sobre el resultado de un experimento, evaluado entre 0 y 1.

La probabilidad clásica o “a priori” (la primera causa) se expresa como una fracción de número de casos favorables al evento entre el número de casos totales del espacio muestral. Veamos una descripción más clara:

Ejemplo: Si se lanza una moneda que no está cargada hacia un lado y en condiciones normales (no se altera el lanzamiento, ni caída de la moneda) calcula la probabilidad de que caiga águila y la probabilidad de que caiga sol.

Solución:

Ejemplo: Se lanzan dos dados comunes al mismo tiempo. Calcular la probabilidad de los siguientes eventos:

a) Obtener un número par.
b) Obtener un número primo.
c) Obtener un número par o primo.
d) Obtener un número par y primo.
e) Obtener un número impar o no primo.

Solución:

Probabilidad condicional

Por las altas ventas de ropa, el dueño de la compañía “Textiles de Oriente” desea otorgar un premio de estímulo especial a sus trabajadores. Para la entrega del premio le pide al director de recursos humanos la relación de cargo y género, como se
muestre en la tabla 2:

La señora Socorro, del área de costura y confección, quien es una empleada responsable y eficiente, está interesada en saber qué posibilidad tiene de ser elegida. Así que saliendo del trabajo, y llegando a casa, se puso a buscar en sus apuntes de probabilidad de la prepa la manera de calcular la probabilidad de ser elegida y encontró lo siguiente:

La probabilidad condicional es la probabilidad de un evento A, es modificada debido a que antes de presentarse este evento A, ha ocurrido un primer evento B, el cual está relacionado con el evento A y que se calcula de la siguiente manera:

En general, para calcular la probabilidad condicional tenemos:

Con la condición de que la probabilidad del evento P(B) sea mayor que cero (P(B)>0)

Socorro tomó su cuaderno, lápiz, calculadora y escribió lo siguiente:

Socorro se da cuenta que tiene una posibilidad de 12.5% de ser elegida.

Otro ejemplo de la aplicación de la probabilidad condicional es el siguiente: Para una campaña de vacunación, el Hospital General requiere de cien termómetros y sólo cuenta con 50, por lo que fue necesario solicitarle a dos laboratorios clínicos de la región, el A y el B, el préstamo de 50 termómetros. Los laboratorios A y B enviaron dos tipos de termómetros, los tradicionales de mercurio con su escala para la lectura de la temperatura y otros que presentan su medida en una pantalla de cristal líquido, como se muestran en la figura 10.1.

En la tabla 3 se muestra la cantidad de termómetros que prestó cada laboratorio.

Si uno de los médicos que va a vacunar elige al azar un termómetro, calcular la probabilidad de que:

a) Sea del laboratorio A.
b) Sea de pantalla de cristal líquido (LQD).
c) Sea del laboratorio A y de escala de mercurio.
d) Sea de lectura de Mercurio, dado que es de laboratorio B.

Solución:

Ley multiplicativa de la probabilidad

Una iniciativa de la Secretaria del Transporte del Estado es reducir el número de personas que son atropelladas en la avenida “E. Pacheco”, la cual se muestra en la figura 10.2. Por lo que el secretario le ha pedido al departamento de proyectos la ubicación de puentes peatonales a lo largo de la avenida.

El director de proyectos recordó que en la clase de probabilidad que cursó en la prepa, el maestro mencionó:

La ley multiplicativa de la probabilidad es la probabilidad de que ocurran simultáneamente dos eventos independientes A y B, y se calcula como el producto de sus probabilidades:

Así que él reflexionó, que de esta forma, él puede calcular y obtener los puntos a lo largo de la avenida, donde la probabilidad
de atropellamiento es alta por el encuentro que se da entre el peatón y el automóvil.

Ejemplo 1: En una urna hay siete esferas rojas y tres verdes. Si se sacaron tres esferas, una tras otra, estimar la probabilidad de que Las primeras dos sean Rojas y la última verde.

Solución:

Ejemplo 2: Una pareja quiere tener dos hijos, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean varones?

Solución:

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas II. Ciudad de México.