Sistema de coordenadas y pares ordenados

El plano cartesiano es de gran utilidad para localizar gráficamente pares ordenados y gráficos de funciones, las cuales ayudan a tener una mejor comprensión de las expresiones algebraicas.

Se cortan en un punto llamado origen, que se representa con la letra o, formándose así cuatro semiejes, dos positivos y dos negativos.

Eje horizontal: se le denomina eje de las abscisas o eje de las x
Eje vertical: se le denomina eje de las ordenadas o eje de las y

El plano cartesiano está dividido en cuatro partes llamados cuadrantes, que se representan de la siguiente manera:

Los cuadrantes siempre van ordenados en sentido contrario a las manecillas del reloj, comenzando con el de la parte superior derecha, y cada pareja ordenada dentro de él denota primero el eje de las abscisas y luego el de las ordenadas, formando así un punto con coordenadas P(x,y).

Parejas ordenadas de números

Recuerda que en los pares ordenados siempre va primero la letra x y luego la letra y, formando la pareja (x,y).

Para localizar el punto x se busca el número en el eje horizontal, y luego el punto y en el eje vertical.

Por ejemplo, se localizan los siguientes puntos en el plano cartesiano: A(-5,4), B(-3,0), C(-2,-4), D(0,-4), E(-6,-3), F(3,6), G(-4,-3) y H(-3,-5)

Las parejas ordenadas de números son un agrupamiento de elementos tomados de dos en dos y siguiendo un orden preestablecido, cuya fórmula es A x B.

Por ejemplo: se toma cada uno de los elementos del primer conjunto y se le asocia con cada uno de los elementos del segundo conjunto, y así vamos obteniendo una igualdad de parejas ordenadas A x B.

Si consideramos al conjunto A como A{a,b,c} y al conjunto B como B{3,4} , entonces, la igualdad de parejas son: (a,3), (a,4), (b,3), (b,4), (c,3), (c,4).

Si tuviéramos los conjuntos de un tablero de ajedrez A{a,b,c,d,e,f,g,h} y el conjunto B{1,2,3,4,5,6,7,8}.

Entonces la igualdad de parejas son:

(a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (a,5), (a,6), (a,7), (a,8)
(b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (b,5), (b,6), (b,7), (b,8)
(c,1), (c,2), (c,3), (c,4), (c,5), (c,6), (c,7), (c,8)
(d,1), (d,2), (d,3), (d,4), (d,5), (d,6), (d,7), (d,8)
(e,1), (e,2), (e,3), (e,4), (e,5), (e,6), (e,7), (e,8)
(f,1), (f,2), (f,3), (f,4), (f,5), (f,6), (f,7), (f,8)
(g,1), (g,2), (g,3), (g,4), (g,5), (g,6), (g,7), (g,8)
(h,1), (h,2), (h,3), (h,4), (h,5), (h,6), (h,7), (h,8)

Lugares geométricos

Un lugar geométrico es el conjunto de los puntos (x,y) que cumplen con una misma propiedad o condición geométrica, representada por una ecuación. Ejemplos de lugares geométricos son la distancia entre dos puntos (línea recta), una parábola, una circunferencia, una elipse, una bisectriz, etcétera.

Ejemplos:
A partir del enunciado, encuentra la ecuación, elabora la tabla y dibuja la gráfica que representan los siguientes lugares geométricos.

La ordenada es el doble de la abscisa más dos.
La ecuación que satisface el planteamiento es: y = 2x + 2

La ordenada es menos el triple de la abscisa menos tres.

La ecuación que satisface el planteamiento es: y = -3x – 3

Conclusión: Al observar la gráfica, podemos afirmar que cuando una ecuación contiene variables elevadas a la potencia 1, el lugar geométrico que representa es una recta.

La ordenada es igual a tres veces el cuadrado de la abscisa menos dos.

La ecuación que satisface el planteamiento es: y = 3x² – 2

La ordenada es igual a menos dos veces el cuadrado de la abscisa más tres.

La ecuación que satisface el planteamiento es: y = -2x² + 3

Conclusión: Al observar la gráfica, podemos afirmar que cuando una ecuación contiene una variable elevada a la potencia 2 y las otras no, el lugar geométrico que representa es una parábola.

La suma de la abscisa elevada al cuadrado más la suma de la ordenada elevada al cuadrado es igual a 9.
La ecuación que satisface el planteamiento es: x² + y² = 9

Se despeja la y, pasando la x² restando al 9 y² = 9 – x²

y sacando raíz cuadrada en ambos lados

El centro de la circunferencia está en el punto A(0,0)

La suma de la abscisa elevada al cuadrado más la suma de la ordenada elevada al cuadrado es igual a 25.

El centro de la circunferencia está en el punto A(0,0)

Conclusión: En este tipo de ecuaciones, ambas variables están elevadas al cuadrado y tiene los mismos coeficientes numéricos; por lo tanto, el lugar geométrico que representa es una circunferencia.

La siguiente ecuación representa una elipse: 9x² + 25y² = 225
Se despeja la y, pasando la x² restando al 25. y² = 225 – 9x²

Recuerda que todas las raíces cuadradas siempre tienen un valor positivo y un valor negativo.

Conclusión. En este tipo de ecuaciones, ambas variables están elevadas al cuadrado y los coeficientes numéricos son diferentes; por lo tanto, el lugar geométrico que representa es una elipse.

Intersección de la gráfica con los ejes del sistema de coordenadas

Se llama intersección con los ejes a los puntos (en caso de existir) donde la gráfica de una ecuación pasa por los ejes. Cuando se va a realizar la gráfica de una ecuación, es conveniente determinar:

• Las intersecciones de la gráfica con los ejes del sistema de coordenadas.
• La simetría que tiene la ecuación.
• La extensión de las variables de la ecuación.

Existen varios tipos de intersecciones:

Una ecuación lineal (de grado 1) pasa como máximo una sola vez por el eje.

Una ecuación cuadrática (de grado 2) pasa como máximo dos veces por los ejes.

Una ecuación cúbica (de grado 3) pasa como máximo tres veces por los ejes.

Para determinar las intersecciones con los ejes, el procedimiento es el siguiente:

• Para encontrar la intersección con el eje x, se le asigna el valor de 0 a la y.
• Para encontrar la intersección con el eje y, se le asigna el valor de 0 a la x.

Por ejemplo:
En la ecuación y = 3x – 9

En la gráfica los puntos de intersección con los ejes quedan de la siguiente manera:

Por ejemplo:
En la ecuación 6x – 3y – 24 = 0

En la gráfica los puntos de intersección con sus ejes quedan de la siguiente manera.

Por ejemplo:
En la ecuación 2x² – 6y – 18 = 0

En la gráfica los puntos de intersección con los ejes quedan de la siguiente manera:

Por ejemplo:
En la ecuación – 4x² + 8y + 64 = 0

En la gráfica los puntos de intersección con los ejes quedan de la siguiente manera:

Simetría de una gráfica

Simetría es la correspondencia exacta —con relación con un centro, un eje o un plano – de la dispoción regular de las partes o puntos de una figura o un cuerpo.

Recuerda que en cursos anteriores habías estudiado la simetría de objetos. Por ejemplo:

Encontrar la simetría en lugares geométricos se puede realizar de la siguiente manera:

Simetría con respecto a x:

Otro ejemplo: verifica si la ecuación
5y² + 4x – 3 = 0 es simétrica

Solución:

Al sustituir el valor de y por –y en la ecuación, se tiene:
5(-y²)+ 4x – 3 = 0
5(y²) + 4x – 3 = 0
5y² + 4x – 3 = 0

Como la ecuación resultante al sustituir y por –y es equivalente a la original, se com-prueba que sí es simétrica con respecto al eje x.

Simetría con respecto al eje y

Simetría con respecto al origen.

Extensión de una gráfica

Los intervalos de variación para los cuales, los valores de x y de y son reales, son la extensión de una gráfica.

Existen ecuaciones cuyas gráficas son líneas o curvas continuas, es decir, no tienen interrupciones. Ejemplo de estas ecuaciones son todas aquellas cuya potencia máxima en x es 1 o 2, como y = 3x – 2; y = 2x² – 4x + 3.

Pero también existen ecuaciones cuyas gráficas son discontinuas, que son las ecuaciones racionales, es decir, donde una función está siendo dividida por otra función.

Por ejemplo:

Al darle el valor a x = 5, la gráfica se vuelve discontinua, ya que el denominador se haría cero (5 – 5 = 0) y como la división entre cero no está definida, en el punto x = 5 no hay gráfica para esta ecuación.

Calcularemos los intervalos para x siguiendo este procedimiento:

1. Se despeja la variable y (si es posible) para encontrar la extensión de la variable x.
2. Se determinan los valores de x en los cuales los valores de y son números reales.

Calcularemos los intervalos para y siguiendo este procedimiento:

1. Se despeja la variable x (si es posible) para encontrar la extensión de la variable y.
2. Se determinan los valores de y en los cuales los valores de x son números reales.

Por ejemplo: encuentra las extensiones de las variables x y y para la ecuación: 2x + 4y = 8

Solución:

Por ejemplo: encuentra las extensiones de las variables x y y para la ecuación 3x² –y –6=0

Solución:

Por ejemplo: encuentra las extensiones de las variables x y y para la ecuación x² + y² = 25

Solución:

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas III. Ciudad de México.