Relaciones

La idea intuitiva de conjunto está relacionada con el concepto de agrupación o colección de objetos; por ejemplo, cuando escuchamos un grupo de músicos tocando juntos una melodía, decimos que se trata de un conjunto musical; a una agrupación de casas construidas de manera similar podemos denominarla conjunto habitacional. De esta manera, se puede definir:

Existen tres formas de representar a los conjuntos:

Por ejemplo: el conjunto de los colores primarios (rojo, azul, amarillo) puede representarse por extensión:

A = {rojo, azul, amarillo}

Por comprensión:

En donde la línea debe leerse como «tal que». Así, lo anterior, representa al «conjunto de x tal que x es un color primario».

Por diagrama de Venn: para representar conjuntos mediante un diagrama de Venn primero debe indicarse quién es el conjunto universo, es decir, el conjunto que contiene a todos los elementos con los que se va a trabajar (este conjunto puede variar).

Para representar al conjunto A en un diagrama de Venn podemos definir el conjunto universo de la siguiente manera:

Si analizamos los conjuntos:

A = {rojo, azul, amarillo}
B = {blanco, negro}

Cuando se consideran dos conjuntos y tomamos el primer elemento del conjunto A: rojo, y formamos parejas que tengan como primer componente al rojo y como segundo componente a cada uno de los elementos de B, y así sucesivamente, repitiendo el procedimiento con el azul y amarillo, formamos un conjunto cuyos elementos sean todas estas parejas: (rojo, blanco), (rojo, negro), (azul, blanco), (azul, negro), (amarillo, blanco), (amarillo, negro), a este conjunto se le llama producto cartesiano de A y B.

Observemos que las parejas son ordenadas, es decir, no es lo mismo (rojo, blanco) que (blanco, rojo), de modo que debemos colocar antes del símbolo ×, los primeros componentes de las parejas pertenecientes al conjunto, así:

Un producto cartesiano A × B puede representarse de la siguiente manera: en un eje horizontal marcamos los elementos de A y en uno vertical, los de B. Se trazan perpendiculares a los ejes a partir de cada una de estas marcas y el punto donde se cortan representa a la pareja correspondiente, por ejemplo:

Si comparamos con el conjunto A × B vemos que son las mismas parejas ordenadas. También podemos obtener el producto cartesiano de un conjunto con él mismo. Como ejemplo podemos considerar las estaciones del año y le llamaremos A:

A = {primavera (p), verano (v), otoño (o), invierno (i)}

El producto cartesiano de A × A está dado por:

A = {(p, p), (p, v), (p, o), (p, i), (v, p), (v, v), (v, o), (v, i), (o, p), (o, v), (o, o), (o, i),
(i, p), (i, v), (i, o), (i, i)}

Las expresiones simbólicas, así como el significado de la relación entre las abscisas y las ordenadas de los puntos en la secuencia, son importantes.

Anteriormente vimos que el plano cartesiano es una representación de R × R, es decir, que contiene a todos los puntos cuyas coordenadas sean números reales. De esta manera podremos estudiar a los subconjuntos de R × R, los cuales toman formas diversas.

Un ejemplo es una curva (figura 1.3).

A las rectas que forman el plano se les llama ejes: el horizontal es el eje X y el vertical, Y. Para comenzar se establecerán relaciones entre los elementos de X y Y.

En la vida cotidiana, para comprender y organizar el entorno que nos rodea asociamos objetos o elementos que presentan alguna característica común. Seguramente has escuchado frases como depende de… o en función de…

Por ejemplo:

• A cada libro le corresponde un número total de páginas.
• Los resultados obtenidos en los exámenes están relacionados con el tiempo dedicado a estudiar.
• A cada persona le corresponde una fecha de nacimiento.
• La distancia recorrida por un vehículo con su velocidad o el consumo de gasolina.

Una relación es el subconjunto de un producto cartesiano formado por los elementos de éste último, normalmente definido por una regla o ley dada. Tales elementos se denotan como (x, y) y significa que x está relacionado con y.

Existen muchas formas de describir una relación, por ejemplo:

Todas las formas anteriores representan la misma relación.

Un ejemplo de relación es A = {1, 5, 7} y B = {4, 8}, su producto cartesiano es: de acuerdo con la definición de relación, consideramos la regla «A menor que B», entonces analicemos qué parejas de A x B tienen como primer elemento un número menor que el del segundo. Se observa que son (1,4),(1,8),(5,8),(7,8). El subconjunto formado por estas parejas es una relación R = {(1,4),(1,8),(5,8),(7,8)}

La representación de esta relación es la siguiente:

Los conjuntos relacionados reciben nombres especiales:

Por ejemplo, en la relación de la figura 1.4 se tiene que:

Funciones

Para iniciar a estudiar este tema te invitamos a realizar lo siguiente: en equipos construyan una caja rectangular sin tapa, que sirva para guardar diversos objetos. Cada equipo diseñará una caja diferente. Dispones de una hoja de papel tamaño carta cuyas dimensiones son 21.6 cm de ancho por 27.9 cm de alto.

1. Recorta en las esquinas de ella cuadrados de x = 1, 2, 3, 4, 5,….10 cm de lado, según lo indique el mediador del grupo (figura 1.5).
2. Obtendrás una superficie como la que se muestra en la figura 1.6.
3. Dobla las pestañas para formar la caja rectangular (figura 1.7).
4. El producto final será como se muestra en figura 1.8

Determina los siguientes datos:

Cada equipo dictará sus resultados y llenarán la siguiente tabla para formar pares ordenados (área, volumen) y analizar los resultados.

Una función es una relación tal que cada elemento del dominio está relacionado con uno y sólo un elemento del codominio. Por ejemplo, si f es una función con dominio A y codominio B, su representación es:

En cuanto a la notación de una función, la imagen de un argumento x bajo una función f se denota como y= f(x), y se lee «y» igual a «f» de «x». Analicemos el siguiente diagrama (figura 1.10):

f : A -> B es una función, ya que cada elemento del dominio (A) está relacionado con un único elemento del codominio (B). Así,

f (1) = 1
f (2) = 4
f (3) = 9
f(4) = 16
f (5) = 25

Otro ejemplo, es que en la vida real sabes que la cantidad de hierro contenida en un fruto depende del tipo de fruto seleccionado. Así, una fresa contiene 1 mg de este mineral, en tanto que una aceituna contiene 1.6 mg.

La relación (x, y) = (fruto, cantidad de hierro) es una función. En cambio, la relación (y, x) = (cantidad de hierro, fruto) no es una función, ya que en este caso, a una misma cantidad de hierro, por ejemplo 0.5 mg, le corresponde más de un fruto.

x, esto significa que el valor de la variable y depende y está determinado exclusivamente por el valor de x.

Una función es una regla de asociación entre dos conjuntos que relaciona a cada elemento del primer conjunto con uno y sólo un elemento del segundo.

Una función es una regla de asociación que relaciona dos o más conjuntos entre sí, en donde al primero se le llama dominio y al otro contra dominio. Esta regla no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del contradominio o codominio.

Regla de correspondencia

La función es una regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos llamados dominio y rango.

Algunas de las fórmulas que conocemos tienen las características de la función. En una relación entre números reales, se presentan dos tipos de cantidades: constantes y variables.

Una constante es un símbolo que representa un valor fijo; mientras que una variable es un símbolo que puede representar diferentes valores.

Por ejemplo:

En la siguiente página encontrarás una tabla con algunas fórmulas expresadas en forma de función y la explicación de la relación de sus variables.

Representación gráfica de funciones

Para graficar una función usamos un sistema coordenado cartesiano, en el cual localizamos los pares ordenados (puntos en el plano cartesiano). Para trazar la gráfica de una función, primero determinamos un número suficiente de puntos cartesianos, cuyas coordenadas la satisfagan, y después los unimos con una curva o una recta para así determinar su comportamiento.

La gráfica es una de las formas más útiles con la que podemos representar funciones y relaciones, ya que describen visualmente tanto el dominio, el contradominio y la correspondencia de una función o relación. También ayuda a determinar si la correspondencia es una función o relación al trazar rectas verticales sobre toda la gráfica.

Si los trazos tocan en un solo punto a la gráfica, significa que tenemos una función. En caso de que cualquiera de las verticales toque en dos o más puntos, entonces es una relación pero no una función. A esto se le conoce como la prueba de la recta vertical.

Por ejemplo, la circunferencia trazada en el plano cartesiano. ¿Se podrá considerar como una función? Observa que al trazar la recta roja, ésta toca en dos puntos a la curva, por lo tanto la circunferencia no es una función.

El número de pares ordenados que permiten obtener una representación correcta de la gráfica depende de la función de que se trate; para cierto tipo de funciones basta determinar dos o tres pares ordenados, en otros casos se requieren una gran cantidad de ellos.

Existen ciertos pares ordenados característicos que facilitan la construcción de la gráfica. Es decir, los puntos, si los hay, donde la gráfica de una ecuación corta a los ejes coordenados se llama intersecciones con los ejes.

Evaluación de una función

El proceso realizado para obtener puntos de la gráfica de una función, se llama evaluar una función, en general, para evaluar una función y = f (x) se sustituye el valor de la variable independiente, sobre la regla definida por la función, se puede evaluar con números reales y en forma algebraica. Debemos tener mucho cuidado cuando evaluamos una función, puesto que el valor debe pertenecer al dominio de ésta. Por ejemplo:

Dominio y rango de función

Como ya se vio anteriormente, los valores del dominio se colocan sobre el eje X.

Los valores del rango se colocan sobre el eje Y.

El siguiente análisis es para ejemplificar algunos procedimientos para obtener el dominio y el rango de algunas funciones.

Su representación geométrica es:

Observa que la gráfica es infinita, pero nunca tocará al eje Y, que representa al valor de x=0.

Los valores que hacen a una función indefinida, porque el denominador se convierte a cero se llaman asíntotas y pueden ser líneas rectas o curvas a las que se aproxima otra curva, como gráfica de determinada función, sin llegar a tocarla por más que se acerque.

Ahora, analicemos la siguiente forma de una función racional:

Las raíces del numerador p(x) son raíces de la función f(x) y las raíces del denominador g(x) son asíntotas o indeterminaciones de la función f(x).

Sabes que los intervalos se utilizan con mucha frecuencia en las funciones para determinar los dominios, entonces, se tiene que los intervalos son una forma de representar números reales. Se les puede asociar directamente a desigualdades de números reales de la siguiente manera:

Una manera simple de observarlos consiste en el tipo de símbolo empleado para delimitar; el paréntesis no incluye al límite indicado, mientras que el corchete sí lo incluye en el conjunto.

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas IV. Ciudad de México.