Segmento rectilíneo

Uno de los conceptos más utilizados en la geometría analítica es el segmento de recta, que es la distancia comprendida entre dos puntos A y B, representada como:

En algunas ocasiones no se indica el sentido del segmento de recta, y a este segmento se les considera como no dirigido. Por el contrario, cuando tiene su dirección bien definida, se considera como un segmento de recta dirigido, donde hay que tomar en cuenta lo siguiente:

• Si el segmento de recta es horizontal, la longitud se medirá restando el punto de la izquierda de la abscisa menos el punto de la derecha de la abscisa.

En este ejemplo, al punto P₁, que se encuentra en 1, se le restaría el punto P₂, que se ubica en 5, dando como resultado -4.

P₁ – P₂ = 1 – 5 = -4

En este ejemplo, al punto P₂, que encuentra en 1, se le restaría el punto p₁, que se ubica en 5, dando como resultado – 4.

P₂ – P₁ = 1 – 5 = – 4

En este ejemplo, al punto P1, que se encuentra en 5, se le restaría el punto P2, que se ubica en 1, dando como resultado 4.

P₁ – P₂ = 5 – 1 = 4

En este ejemplo, al punto P2, que encuentra en 5, se le restaría el punto P1, que se ubica en 1, dando como resultado 4.

P₂ – P₁ = 5 – 1 = 4

Entonces, la magnitud de un segmento de recta sin importar su dirección está dada por:

si se trata de un segmento horizontal, donde | | significa valor absoluto, es decir, el valor positivo de la diferencia entre los dos puntos.

si se trata de un segmento vertical.

Para un segmento de recta inclinado como el siguiente ejemplo veremos cómo se calcula la distancia entre dos puntos P₁ y P₂ dados:

Las coordenadas de los puntos extremos P₁ y P₂ de la figura están dadas por P₁(4,2) y P₂(2,-1).

Si formamos un triángulo rectángulo tomando el segmento de recta

como la hipotenusa y el punto 3 con coordenadas P3(4,-1) como el tercer vértice del triángulo tenemos:

Recordando el teorema de Pitágoras:

c² = a² + b²

La longitud del segmento de recta

es un segmento horizontal, por lo que se calcula con:

La longitud del segmento de recta

es un segmento vertical, por lo que se calcula con:

Sustituyendo estos valores en la fórmula del teorema de Pitágoras:

Del anterior ejemplo podemos deducir que:

En el siguiente ejemplo, calcula la distancia entre los puntos

Tomando el punto A como el punto P₁(x₁,y₁) y el punto B como el punto P₂(x₂,y₂) y sustituyendo estos valores en la fórmula de distancia entre dos puntos:

Recuerda que el perímetro (del griego peri “alrededor”- y metro “medida”) de un polígono o cualquier figura, es la suma de las longitudes de los lados de una figura geométrica, es decir, la longitud del contorno de la figura.

Para calcular el perímetro de un polígono, podemos encontrar la distancia entre dos de sus vértices y, después, sumar cada uno de los segmentos, como veremos en los siguientes ejemplos:

Calcula el perímetro de la siguiente figura:

Otro ejemplo: calcula el perímetro de la siguiente figura.

Ahora revisemos lo que es el área de un polígono, que se refiere a la cantidad de superficie que se encuentra dentro de una figura.

Apliquemos el concepto: calcula el área del siguiente paralelogramo, dividiéndolo en dos triángulos y sumando sus áreas, que se pueden obtener utilizando la fórmula de Herón, que dice:

donde s es el semiperímetro, que se calcula mediante la fórmula

siendo a, b, c y d las longitudes de cada uno de los lados del triángulo.

Solución:

Se divide primero el polígono en dos triángulos.

Razón de un segmento de recta

El punto P(x,y) que divide a un segmento de recta en una razón dada se llama punto de división, y se calcula con la fórmula:

Si tenemos un segmento de recta y por el pasan dos puntos P₁ y P₂, y se traza también un punto P, éste divide al segmento de recta

en la razón r, como se presenta en la siguiente figura.

Si se establece la distancia P₁P₂ como positiva y el punto P está entre los puntos P₁ y P₂, las distancias P₁P y PP₂ serán positivas y también la razón será positiva.

Si el punto P está fuera de los puntos P₁ y P₂, una de las distancias

será negativa, por lo que la razón r será negativa.

Veamos los siguientes ejemplos:

El segmento de recta

tiene una longitud de 5, el segmento de recta

tiene una longitud de 2 y la distancia del segmento

es igual a 3. Calcula la razón.

Solución

Utilizando la fórmula para calcular la razón

Y sustituyendo los valores de las distancias de los segmentos, tenemos una razón positiva, es decir:

Podemos observar que como el punto P está entre los puntos P₁ y P₂ la razón r es positiva.

Calcula la razón en el siguiente caso:

Utilizando la fórmula para calcular la razón

y sustituyendo los valores de las distancias de los segmentos, tenemos:

Calcula la razón para los siguientes casos:

Solución

En este caso, el punto P está fuera del segmento

y el segmento

es negativo. Utilizando la fórmula para calcular la razón

y sustituyendo los valores de las distancias de los segmentos, tenemos:

Punto medio de un segmento de recta

El punto medio de un segmento de recta es aquel que se encuentra a la misma dis-tancia de cualquiera de los extremos y divide al segmento en una razón de 1.

La coordenada del punto medio de un segmento de recta es igual a la semisuma de las coordenadas correspondientes de sus puntos extremos, mediante las fórmulas:

Ejemplo:

Calcula las coordenadas del punto medio del segmento de recta mos tiene coordenadas

P₁(-4,4) y P₂(4,-2).

Solución

Sustituyendo los valores en las fórmulas:

Las coordenadas del punto medio son PM = (0,1)

Ejemplo

Calcula las coordenadas del punto medio del segmento de recta

cuyos extremos tiene coordenadas P₁(-5,-2) y P₂(3,4)

Solución:

Sustituyendo los valores en las fórmulas:

Las coordenadas del punto medio son P_M = (-1,1)

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas III. Ciudad de México.