Concepto de funciones especiales

Las funciones especiales se clasifican en:

• Funciones explícitas. La variable dependiente está despejada. Ejemplo: y = f (x).
• Funciones implícitas. La función está dada por una ecuación; es decir, la variable dependiente no está despejada.

Ejemplo: x²y − 4y = 2

• Funciones continuas. Su gráfico no presenta ningún punto aislado, saltos o interrupciones. Todas las funciones polinomiales son continuas.
• Funciones discontinuas. Presentan saltos o interrupciones. Todas las funciones racionales son discontinuas para todos los valores de x que hacen cero el denominador.

• Funciones escalonadas. Existen funciones que se definen a través de intervalos cuyo dominio es (−∞,∞), sin embargo, no son continuas.
• Funciones crecientes. Una función f es creciente sobre un intervalo en R. si para cualquier valor x₁ y x₂ en R donde x₁ < x₂, se tiene que f(x₁)< f(x₂), los valores de la función se incrementan (figura 2.4).
• Funciones decrecientes. Una función f es decreciente sobre un intervalo R si, para cualquier x₁ y x₂ en R, donde x₁ > x₂ se tiene que f(x₁) > f(x₂), es decir, los valores de una función disminuye (figura 2.5).

Función inyectiva

Una función f es inyectiva, univalente o uno-uno si y sólo si cada f (x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio; es decir, es función inyectiva si cada elemento del dominio tiene una imagen diferente en forma general:

(x₁) = f (x₂) lo que implica que x₁ = x₂

Ejemplo:

Método de línea horizontal para identificar si la función es inyectiva

El método de línea horizontal se utiliza para saber si una función es inyectiva o no. Por ejemplo, si tenemos la función f (x) = 2x² + x + 1, necesitariamos comprobar si la recta horizontal f(x) = 4 corta la gráfica de la función en dos puntos. Observa la
figura 2.8.

La función f(x) = 2x² + x + 1 no es inyectiva, porque la recta horizontal f(x) = 4 corta a la gráfica de la función en dos puntos (figura 2.8). Por el contrario, con una función como p(x) = x³ − 1 se observa que la función f(x) = 4 corta la gráfica en un solo punto (figura 2.9), por lo que la función sí es inyectiva.

Función sobreyectiva

Sea f una función de A en B, f es una función sobreyectiva, si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, bajo f.

Función biyectiva

Sea f una función de A en B, f es una función biyectiva si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez.

Una vez definidas las funciones inyectiva, sobreyectiva e inyectiva, podemos aplicar estos conceptos a las funciones f(x), a qué clasificación pertenecen. Por ejemplo, sean los conjuntos M = {p, q, r} y N = {1, 2, 3} para los cuales se definen las siguientes funciones:

Función inversa

Sabemos que existen funciones inversas: suma-resta; producto-cociente; radicación- potencia; logaritmo-exponencial. Se expresan así:

La palabra inversa en álgebra tiene el mismo sentido de la palabra inversa en la vida cotidiana, es decir, «lo contrario de», «lo opuesto de».

Una forma práctica de expresar una función inversa es intercambiar el dominio y el rango de una función. La función inversa se expresa como f^-1 (x) y se lee «inversa de f» y se representa como f^-1: B -> A.

Considerando una función f que tiene por dominio un conjunto A y por codominio un conjunto B, entonces se llamará función inversa de f, a aquella función que tiene como dominio B y por codominio al conjunto A. Denotaremos a la función inversa como f-1(y) = x y su diagrama es:

El proceso para encontrar la función inversa de otra dada es el siguiente:

• Se despeja la variable x de la función original, para la función inversa, esa es la variable dependiente.
• Se intercambia la variable x por y.
• La ecuación resultante corresponde a la función inversa de la expresada.

Ejemplo 1: Obtener la función inversa de y= 2x – 1

Solución:

Ejemplo 3: Calcular la inversa de la función inyectiva f(x) = 1.8x + 32

Solución:

La figura 2.11 muestra en un mismo plano las gráficas de las funciones anteriores. Interpretamos que en cada situación de uno a uno se conserva y existe una línea que parece ser la que las separa, la función y = x.

Ejemplo 4: La siguiente fórmula permite convertir x grados centígrados a F(x) grados Farenheit:

a) ¿Qué significado tiene F^-1 (x)?
b) ¿A cuántos grados centígrados equivalen 68 grados Farenheit?
c) Hallar F^-1 (x)

Solución:

Función escalonada

Las funciones escalonadas son un tipo particularmente sencillo de funciones que se definen en un intervalo, de manera que exista una partición del mismo en el que la función se mantenga constante en cada uno de los subintervalos.

Informalmente, una función escalonada es aquella que, al ser dibujada, su gráfica tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes). Este tipo de funciones tienen un comportamiento diferente por intervalos; es decir, una función distinta en cada escalón.

Por ejemplo, si deseas asistir a un concierto de tu grupo musical favorito y preguntas por los precios de los boletos, tal vez te dirían que de la primera fila a la quinta cuestan $500, de la sexta a la décima, $350 y de ahí en adelante $200. De acuerdo con esto podemos ver que:

• Es una función discreta.
• Dominio = números naturales 1, 2, 3, 4, …
• Contradominio = 500, 350 y 200
• En general:

P = f(F) donde P= precio y F= fila

Entonces:

Ejemplo 1: Los estacionamientos cobran una cuota fija por hora aun cuando sólo se utilice una fracción de este tiempo. Describe gráficamente y con una ecuación la función para la tarifa que debe pagarse en un estacionamiento que cobra $10.00 la hora, o fracción, si un auto permanece de una a cinco horas.

Solución:

Debemos recordar que en una función ningún elemento del dominio puede tener dos o más valores, por esa razón los intervalos se deben especificar con detalle.

Ejemplo 2: Representa y describe las características de las siguientes funciones.

Dominio: D(f) = R; Recorrido: (f) = R

Solución:

Función valor absoluto

El valor absoluto se representa por el símbolo x; esto significa que si x es de signo positivo se queda igual, si es negativo se le cambia de signo para que quede positivo, por ejemplo:

Luego entonces, la función de valor absoluto se define por:

De otra forma se representa por:

La anterior es la función valor absoluto.

La representación geométrica de la función valor absoluto f(x) = x es:

Sus características son:

Función constante

Esta función la puedes observar cuando compras por menudeo, por ejemplo: si compras una camisa, un pantalón o unos zapatos, el precio de estos artículos se mantiene constante, es decir, no cambia, como se muestra en la figura 2.15.

Función de identidad

En tu casa, escuela, iglesia y en otros espacios puedes encontrar escaleras, si las miras de costado, verás que algunas cuentan con escalones que tienen la misma medida de ancho y altura. Si colocas sobre los escalones una tabla, vas a observar cómo se puede generar la gráfica que se muestra en la figura 2.16.

La representación gráfica de la función de identidad, es una recta que pasa por el origen con una inclinación de 45° (figura 2.16).

Propiedades y características de las transformaciones gráficas

Algunas de las transformaciones de funciones se conocen como familias de funciones similares, tienen la misma forma, pero posiciones diferentes en una gráfica. Para ejemplificar este concepto de transformaciones gráficas, analizaremos un ejemplo de línea recta.

Familia de rectas

Hemos estudiado que una recta del plano queda determinada por un par de datos o condiciones: dos puntos, un punto y su pendiente, su pendiente y ordenada al origen, etcétera. Si se determina una única condición, entonces un conjunto de rectas, y no necesariamente una sola, la cumplirán. Al conjunto de todas las rectas que satisfacen una única condición se le denomina familia de rectas o haz de rectas.

Para obtener la ecuación de una familia o haz de rectas, se define la condición y el dato más conveniente para obtenerla representado por un parámetro variable k, perteneciente a los números reales.

Los siguientes ejemplos explican el procedimiento recomendado para obtener la ecuación de una familia, transformación gráfica o haz de rectas y su construcción gráfica.

Ejemplo: Determina la ecuación de la familia de rectas que pasan por el origen del plano.

Solución:

En las siguientes figuras se muestran las gráficas de 3 funciones f(x), g(x) y h(x) y la fórmula de f(x) = x2. ¿cuáles son las fórmulas de las otras gráficas?

Si analizas la gráfica (figura 2.17) puedes ver que ambas funciones son similares, pero en posiciones diferentes, se interpreta que la gráfica de f(x) tiene su origen en el punto f(x) tiene su origen en el punto (0, 0), también se observa que g(x) tiene su origen en (0, 3) y h(x) inicia en (0, -2), es decir, están desplazadas 3 unidades hacia arriba y dos unidades hacia abajo.

Para generalizar el concepto anterior, a la hora de graficar una función es muy importante tener en cuenta este tipo de transformaciones.

Los tipos elementales básicos para la transformación de funciones f(x) se resumen en la siguiente tabla.

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas IV. Ciudad de México.