Línea recta

La línea recta es el conjunto finito de puntos unidos en una misma dirección y de una sola dimensión, que se compone de segmentos infinitos, que son las pequeñas líneas que unen dos puntos.

Pendiente de recta y ángulo de inclinación de una recta:

Cuando vas subiendo por una montaña, cuanto más inclinada esté, mayor será el esfuerzo que tendrás que hacer para llegar a la cúspide. Esto se debe a que el ángulo de inclinación entre el piso y la montaña es muy grande. A dicha inclinación se le llama pendiente, y cuanto mayor sea el ángulo de inclinación, mayor será la pendiente.

Cuando estás subiendo la montaña, se dice que tiene una pendiente positiva. Al llegar a la cúspide y caminar unos pasos, el desplazamiento normalmente es horizontal, por lo que allí no hay inclinación, es decir, no hay pendiente (ésta tiene un valor de 0). Al descender de la montaña, se dice que tiene una pendiente negativa.

Como este ejemplo, la pendiente tiene un sinnúmero de aplicaciones en Matemáticas, Física, Ciencias Naturales, y Economía, en fin, en muchas situaciones de nuestra vida que suceden frecuentemente.

Vamos a definir de manera más formal la pendiente. La pendiente de una recta es el grado (medida) de inclinación de una recta. Si lo vemos en una gráfica como en la imagen inferior, es el cambio en el eje y con respecto al cambio en el eje x. La pendiente se representa con la letra m.

Si una recta pasa por dos puntos distintos P₁(x₁,y₁) y P₂(x₂,y₂), entonces su pendiente (m) está dada por:

Esta gráfica pertenece a la ecuación de la recta _y = 2x –1, donde al darle valores obtenemos:

Cabe aclarar que es posible dar cualquier valor a x, además de que la y puede resultar también en valores racionales (fracciones o decimales).En la tabla constatamos que al aumentar en 1 el valor de x, se aumenta en 2 el valor de y.

La pendiente puede ser de varios tipos:

Ángulo de inclinación de una recta: es el menor de los ángulos que forma una recta con el eje horizontal x, medido siempre en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Por lo tanto, el ángulo de inclinación de una recta siempre varía de 0° a 180° y se pueden presentar los siguientes casos.

• Si la pendiente es positiva, el ángulo de inclinación siempre será agudo (menor a 90º)􀂇􀀃Si la pendiente es negativa, el ángulo de inclinación siempre será obtuso (más de 90º y menos de 180º).
• La pendiente es igual a cero si el ángulo es de 0º (no hay inclinación).
• La pendiente es indefinida o infinita si el ángulo es recto (igual a 90º).
• Se le llama pendiente de una recta a la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación

la relación entre la pendiente de inclinación es:

es decir, la pendiente es igual a la tangente del ángulo de inclinación. Para los siguientes ejercicios es necesaria una calculadora científica, donde utilizarás la función tan

En los problemas que abordaremos, normalmente no se indica la medida del ángulo de inclinación de la recta, sino que tenemos sus dos puntos, que se resuelven con la fórmula

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad de una recta

Condición de paralelismo: si dos rectas no verticales son paralelas, tienen pendientes y ángulos de inclinación iguales.

Esto es, m_A = m_B

Gráficamente podemos observar que:

Y se observa que las pendientes m₁ y m₂ son iguales, es decir m₁ = m₂ = 1

Condición de perpendicularidad: para que dos rectas sean perpendiculares (ninguna de ellas vertical) el producto o la multiplicación de sus pendientes debe ser igual a -1. Esto es (m_A) (m_B) = -1, es decir, las pendientes deben ser recíprocas y de signo contrario, además de formar un ángulo de inclinación de 90°.

Dos números son recíprocos si su producto es igual a 1.

Por ejemplo, los siguientes números son recíprocos (los que están en paréntesis):

Se multiplican las pendientes m₁ m₂ , (1)(-1) = -1 y se comprueba que al multiplicarse el resultado es igual a -1.

Ejemplo Determina si las rectas r₁ que pasa por los puntos A(-2,-2) y B(1,4) y la recta r₂ que pasa por los puntos C(1,-2) y D(4,4), son paralelas, perpendiculares u oblicuas. Solución Primero se calcula la pendiente de cada recta:

La ecuación de la recta como un modelo matemático

Gran parte del mundo funciona gracias a las reglas matemáticas. Los sistemas lineales son un claro ejemplo de cómo emplear esta disciplina en la vida real; por ejemplo, existen condiciones donde la salida de un sistema se duplica si la entrada se duplica, o donde la salida se corta a la mitad si pasa lo mismo con la entrada. Este ejemplo habla del sistema lineal y es posible describirlo con una ecuación lineal.

Ejemplos tales como la depreciación de artículos (su precio se va perdiendo con el paso del tiempo), la variación de la temperatura, la ley de la oferta y la demanda de artículos, los problemas relacionados con la educación, medicina, y prácticamente en cualquier ramo, son aplicables mediante ecuaciones de la recta tomadas como modelos matemáticos.

En las siguientes actividades veremos algunos ejemplos de cómo se pueden aplicar las ecuaciones lineales en lo cotidiano. Es conveniente seguir una serie de pasos para resolverlas de la manera más fácil y efectiva:

• Lo primero que hay que hacer para resolver estas situaciones es convertir nuestros datos en un modelo matemático.
• Se calcula la pendiente sustituyendo los datos que ofrece el problema en la fórmula correspondiente.
• Una vez obtenida, se sustituye la pendiente y uno de los puntos en la ecuación de la forma punto-pendiente.
• Después se transforma esta ecuación a la forma pendiente-ordenada al origen, para realizar los cálculos solicitados en cada situación específica.
• Es conveniente trazar siempre la gráfica para darnos una idea más exacta de lo que estamos hablando.

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas III. Ciudad de México.