Modelo general de las funciones polinomiales

Las funciones polinomiales son modelos matemáticos que describen relaciones entre dos variables, como su nombre lo indica, se definen por medio de un polinomio, que, como sabemos, es la expresión de suma o resta de términos algebraicos no semejantes entre sí. La forma general de una función polinomial es:

En esta expresión n es un número entero no negativo, que se denomina grado de la función polinomial.

Entonces, la forma general de una función polinomial se puede representar con la expresión siguiente:

Por ejemplo, para la función f(x) = 2x² – 7x + 5, tenemos:

• Grado del polinomio que define a la función: 2
• Coeficientes: a₂ =2, a₁= -7, a₀ = 5
• Coeficiente principal: a₂ = 2
• Coeficiente constante: a₀ = 5
• Término principal: 2x²
• Término constante 0
• Independientre: 5

Representación gráfica de las funciones de grados cero, uno y dos

Los elementos de una función polinomial: grado, coeficientes, coeficiente principal, coeficiente constante, término principal y término constante nos proporcionan información para aproximar su comportamiento gráfico.

Una característica importante de las funciones polinomiales es que se trata de funciones continuas, que intuitivamente se pueden interpretar como funciones cuya gráfica no está rota, lo cual, matemáticamente hablando, quiere decir que están definidas en todos los números reales (su dominio es R).

La gráfica de las funciones polinomiales no tienen cortes y su trazo es de una única línea como si se dibujara colocando el lápiz sobre el papel y arrastrándolo sin despegarlo de la hoja, como se muestra en las siguientes figuras 3.1 y 3.2.

Los siguientes conceptos de los polinomios de grados cero, uno y dos nos ayudarán a identificar cada uno de los elementos y gráfica de los polinomios objeto de estudio de este tema.

Comportamiento gráfico de la función polinomial de grado cero

La función constante (grado cero) es la función polinomial más simple. Su expresión general es:

f(x) = a₀x⁰ = a₀(1) = a

Se sabe que toda cantidad elevada a la potencia cero es uno, es decir x⁰ = 1.

Dado que a₀ es un número real constante, suele expresarse con la letra c. Así, la expresión de la función constante más común es:

f(x) = c

Analicemos la expresión anterior. El polinomio que define a esta función tiene a la variable x con exponente cero, de modo que su grado es cero. En la función constante se expresa una relación de correspondencia entre los valores de la variable y el valor c, de modo que, para cada valor de x en el intervalo siguiente, el valor obtenido por la función es c.

Las funciones polinomiales describen en un plano cartesiano gráficas dependiendo del grado al que pertenezcan.
del grado al que pertenezcan.

A partir de esto, deducimos que todos los puntos de la gráfica de la función constante están definidos por la expresión (x, c) y, consecuentemente, a la misma altura respecto del eje X, dando lugar a una recta horizontal (paralela al eje X), que corta al eje Y a la altura de y = c, como gráfica de la función en el plano cartesiano.

Si c = 0, la recta es el eje X del plano cartesiano. Entonces, la ecuación del eje X es f(x) = 0.

Si c = 0, la función f(x) = 0 representa al eje X del plano cartesiano

Recordando que toda función polinomial tiene como dominio a los reales y que el rango es el conjunto de valores que toma la función, podemos afirmar que el dominio de la función constante es el conjunto de los números reales, y que su rango es el conjunto de los números reales, y que su rango es el conjunto cuyo único elemento es c, es decir:

Domf = R y Rangof = [c]

Por ejemplo, si deseamos trazar la gráfica de la función f(x) = 3, tabulamos algunos puntos y luego los unimos.

En la gráfica de la función f(x) = 3 tenemos que Domf = R u Rangof = [3]

Comportamiento gráfico de la función polinomial de grado uno

f(x) = a₁x + a₀

Otras formas comunes en que se expresa esta función son:

f (x) = ax + b y f(x) = mx + b

Se denomina función lineal porque su gráfica en el plano cartesiano es una línea recta.

Parámetros y características de la función de grado uno. Al trazar la gráfica de una ecuación polinomial y = mx + b de grado uno, se obtiene una recta, en estas gráficas se observa una cierta inclinación, el valor de esa inclinación se determina con el valor de (m) y se llama pendiente de la recta, también se observa en la ecuación el valor de (b) que se llama ordenada al origen y señala el valor en el que la recta corta al eje y.

Por ejemplo, al trazar la gráfica de y = 3x + 2 (figura 3.5), se puede identificar el valor de la pendiente (m = 3) y el valor de la ordenada al origen (b = 2).

Procedimiento para trazar una función lineal. Los pasos a seguir son:

1. Con el término constante b (ordenada al origen), localizar la intersección con el eje Y, es decir, el punto (0, b).
2. Cambiar la expresión del coeficiente principal m (pendiente) a la forma fraccionaria, es decir, expresar:

3. Si m > 0, mover p unidades hacia arriba y r unidades hacia la derecha (o p unidades hacia abajo y r unidades hacia la izquierda) y trazar el nuevo punto. Si m = 0, la recta es horizontal y pasa por (0, b). Ya se puede trazar.
4. Si m < 0, mover p unidades hacia abajo y r unidades hacia la derecha (o p unidades hacia arriba y f unidades hacia la izquierda) y trazar el nuevo punto.
5. Con los dos puntos obtenidos (excepto si m = 0), trazar la recta.

Ejemplo: Traza la gráfica f(x) = -1.5x + 2

Solución:

Si en el ejemplo anterior la pendiente es cero (m = 0), entonces la función dada es la función constante estudiada antes.

La función lineal como modelo de variación directa. Decimos que en la relación de dos variables hay una variación directa cuando al aumentar el valor de una aumenta el valor de la otra, o bien, cuando al disminuir el valor de una disminuye el valor de la otra. Por ejemplo, la cantidad de libros que se pueden comprar con cierta cantidad de dinero es un caso de variación directa: «a mayor cantidad de libros se requiere mayor cantidad de dinero», o bien, «a menor cantidad de libros corresponde una cantidad de menor dinero».

Ejemplo 1: Se compraron 3 libros y se pagó 150 pesos por ellos. ¿Cuál es el modelo de variación? Usando este modelo, ¿cuánto se pagará por 5 libros?

Solución:

Ejemplo 2: Si un automóvil recorre 75 kilómetros en 80 minutos, ¿qué distancia recorrerá en media hora? Resuelve el problema utilizando el modelo de variación directa.

Solución:

Comportamiento gráfico de la función polinomial de grado dos

Su expresión general es f (x) = a₂x² + a₁x + a₀ que suele expresarse como:

Como cualquier función polinomial, su dominio es el conjunto de todos los números reales: Domf = R

El análisis de los términos de una función cuadrática f (x) = a₂x² + a₁x + a₀ es:

• La constante a o coeficiente cuadrático indica qué tan ancha o estrecha está la parábola.
• Si a < 1 (a menor que 1) la parábola es muy ancha.
• Si a > 1 (a mayor que 1) la parábola es muy estrecha.
• El coeficiente b o término lineal indica el desplazamiento de la parábola a la derecha si b es negativo y a la izquierda si b es positivo.
• La parábola corta al eje Y en el punto (0, c).
• Si a > 0, (a positiva), la gráfica es la de una parábola que abre hacia arriba, es decir, empieza arriba del eje X y termina arriba de él en un desplazamiento horizontal de izquierda a derecha )figura 3.6)
• Si a < 0, (a negativa), la gráfica es la de una parábola que abre hacia abajo, es decir, empieza abajo del eje X y termina abajo de él en un desplazamiento horizontal de izquierda a derecha (figura 3.7).

De modo que el rango de la función cuadrática depende del coeficiente principal:
Para determinar los ceros de la función cuadrática es necesario resolver la ecuación:

f(x) = a₂x² + a₁x + a₀

Esta ecuación puede resolverse usando la fórmula general:

La expresión dentro de la raíz cuadrada: b²– 4ac se denomina discriminante de la ecuación porque su valor determina si las raíces son reales o complejas.

• Si b² = 4ac <0, las raíces son complejas y significa que la gráfica no corta al eje x, por lo que en este caso concluimos que la función cuadrátiva no tiene ceros (intersecciones con el eje x) como se muestra en las figuras 3.8 y 3.9.
• Si b² – 4ac = 0, hay una raíz real y significa que la gráfica corta al eje x en un único punto, el vértice de la parábola, por lo tanto, la función sólo tiene un cero en x = -b/2a, o bien, en el vértice (-b/2a, 0) de acuerdo con la figura 3.10.
• Si b_² – 4ac > 0, las dos raíces son reales y significa que la gráfica corta al eje X en dos puntos (figura3.11), esto es, la función cuadrática tiene dos ceros (intersecciones con el eje x) en:

Para determinar el vértice en este último caso, se debe considerar que la parábola es una gráfica simétrica, es decir, la altura de un punto a r unidades a la izquierda del vértice es la misma para el punto a r unidades a la derecha del vértice.

Entonces, considerando las intersecciones con el eje X, podemos afirmar que la coordenada x del vértice es el punto medio del segmento que une las intersecciones con el eje X, es decir:

Por lo tanto:

Ahora calculemos la coordenada y del vértice:

Finalmente, el vértice está determinado por el punto:

El rango de la función cuadrática, como se explicó antes, depende del valor del coeficiente principal de la siguiente manera:

Si a < 0, la parábola abre hacia abajo, de modo que el vértice es el punto máximo de la gráfica. Entonces:

Si a > 0, la parábola abre hacia arriba, de modo que el vértice es el punto mínimo de la gráfica. Entonces:

En general, el comportamiento de una función polinomial puede entenderse mediante el análisis de sus parámetros, en especial de su coeficiente principal a0 y de su término independiente a0.

Los siguientes ejemplos muestran la utilidad de este análisis de la función cuadrática.

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas IV. Ciudad de México.