Ecuación de la recta determinada por uno de sus puntos y su pendiente

Cuando queremos determinar la ecuación de una recta r, que pasa por un punto P₁(x₁,y₁) que tiene una pendiente m, si existe un punto P(x,y) cualquiera de la recta y es distinto de P₁, utilizando la fórmula de la pendiente tenemos:

multiplicando, resulta:

m(x – x₁) = y – y₁, lo que es lo mismo:

y – y₁ = m(x – x₁)

Ésta es la ecuación de la recta expresada en su forma punto-pendiente, que se utiliza cuando conocemos un punto de la recta y su pendiente.

Recuerda que la ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen es:

y = mx + b

donde:

y = variable dependiente
m = pendiente de la recta
x = variable independiente
b = intersección con el eje de las ordenadas y

Por lo que después de haber sustituido las coordenadas del punto P₁ y la pendiente m en la forma punto-pendiente, se pasa la ecuación a la forma pendiente-ordenada al origen.

Gráfica de una función lineal a partir de su pendiente y ordenada al origen

Para trazar la gráfica de una función lineal, se utilizan los parámetros b y m de la ecuación y = mx + b, mediante el siguiente algoritmo:

Ecuación de una recta en forma simétrica

En los temas anteriores aprendiste a calcular la ecuación de la recta cuando se conocen dos de sus condiciones: un punto y la pendiente. Las formas que calculaste fueron:

• Forma pendiente ordenada al origen: y = mx + b
• Forma punto pendiente: y – y₁ = m(x – x₁)

Forma simétrica

Ecuación general de una recta

La ecuación cuya forma es Ax + By + C = 0 se llama forma general de la recta, donde A, B y C son números reales, y los valores de A y B no pueden ser cero.

Determinación de la pendiente y la ordenada al origen a partir de la ecuación general

Despejamos la variable y de la ecuación general de la recta, cuya forma es Ax + By + C = 0, siendo A y B diferentes de cero:

Esta es la ecuación de la recta en la forma pendiente ordenada al origen:

y = mx + b, por lo que:

Ecuación normal de una recta

Observa la siguiente figura:

Distancia de un punto a una recta

Para calcular la distancia dirigida de un punto P₁(x₁,y₁) a una recta r determinada por la ecuación Ax + By + C = 0 se utiliza la fórmula:

La distancia d es la longitud del segmento de recta perpendicular dirigido de la recta r al punto P₁(x₁,y₁). Dicha distancia será positiva si el punto se encuentra por encima de la recta, y negativo si se encuentra por debajo de la recta. El signo de d será igual al signo de B.

Distancia entre dos recta paralelas

Para calcular la distancia no dirigida entre dos rectas paralelas, llamadas R1 y R2 respectivamente, hay que determinar un punto que pertenezca a una de las rectas, asignando a x un valor de 0 para encontrar el valor correspondiente de y, realizando el despeje correspondiente.

Enseguida, con este punto y la recta R2 se procede a encontrar la distancia de este punto a la recta, con la fórmula de la distancia de un punto a una recta.

Cuando se calcula la distancia entre dos rectas paralelas, el signo indica cuál de las rectas está arriba de la otra y solamente se considera que la distancia entre las rectas es una distancia no dirigida y se calcula con el valor absoluto, por eso el resultado es positivo.

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas III. Ciudad de México.