Modelo matemático de las funciones polinomiales de grado tres y cuatro

En primera instancia, una función polinomial debe su grado al que corresponde al polinomio incluido en su regla de correspondencia. Los polinomios a estudiar en la presente sección son aquellos que contienen expresiones de grado tres como:

Y los que corresponden al grado cuatro:

Cabe señalar que si alguno de los coeficientes del polinomio es igual a cero, se considera un polinomio incompleto; sin embargo, se mantienen las mismas propiedades y los elementos que los correspondientes a un polinomio completo.

Enunciemos las propiedades fundamentales de las funciones polinomiales.

• El dominio de las funciones polinomiales es todo el conjunto de los números reales.
• Las funciones polinomiales son continuas, es decir, sus gráficas no presentan interrupciones.

Propiedades geométricas de la función polinomial de grado tres

Su expresión general es:

Como todas las funciones polinomiales, tiene como dominio el conjunto de los números reales: Domf = R

Como función de grado impar, su rango son todos los números reales: Rangof = R

Intersección con el eje Y: (0, d)

• Si a > 0, la función va debajo del eje X, lo cruza y continúa arriba del eje X.
• Si a < 0, la función empieza arriba del eje X y termina abajo del eje X.
• El número máximo de intersecciones con el eje X (ceros de la función) es 3.
• Por tabulación obtenemos la gráfica.

Revisemos algunos ejemplos.

Ejemplo 1: Describe el comportamiento y bosqueja la gráfica de la función:

Solución:

Ejemplo 2: Describe el comportamiento y bosqueja la gráfica de la función:

Solución:

Propiedades geométricas de la función polinomial de grado cuatro

Sean f (x) = x⁴ y f(x) = -x⁴, funciones cuyas gráficas se visualizan a continuación:

A partir de estas gráficas podemos generalizar, para funciones polinomiales de grado cuatro, lo siguiente:

Métodos de solución de las ecuaciones factorizables asociadas a una función polinomial de grado tres y cuatro

En muchas de las funciones polinomiales que hemos analizado puedes notar que su gráfica intersecta al eje X, en algunas no. Contar con las intersecciones de las funciones polinomiales con el eje X es de gran ayuda si esta información se agrega a las técnicas que has aprendido hasta este punto.

Para mostrar hacia dónde vamos, analiza lo siguiente. Se tiene la función polinomial:

f(x) = x³-4x

Para la cual deseamos responder la siguiente cuestión: ¿a qué valor o valores de la variable x les corresponde una imagen igual a cero? Para responder, debemos considerar que si se requiere que la imagen de x sea igual a cero, tendremos que:

f (x)= 0 de donde se tiene la ecuación x³ – 4x= 0

Como recordarás, en tus cursos básicos de álgebra aprendiste que la ecuación puede resolverse empleando la factorización que se describe a continuación:

x³ – 4x = 0

La ecuación dada se puede factorizar por factor común. Al factorizar el binomio en el paréntesis se tiene:

x (x² – 4) = 0
x (x+2)(x-2) = 0

A partir de la última expresión resultante podemos establecer que el producto será igual a cero, cuando al menos uno de los factores lo sea, es decir:

x = 0
x + 2 = 0
x – 2 = 0

Así, los valores de x a los que corresponde una imagen igual a cero son:

x = 0 x = -2 x = 2

De las parejas resultantes del proceso anterior, obtenemos que dichos puntos se ubican en el eje X; luego, las intersecciones de la gráfica con el eje X son los puntos (0, 0), (2, 0), (-2, 0).

Con las intersecciones con el eje x determinadas y los elementos que hemos visto, se puede bosquejar la gráfica de la función como se muestra en la figura 4.8 en la página siguiente.

Ejemplo 1: Despeja la variable y y exprésala como f(x). Analiza y bosqueja la gráfica de la función:

Ejemplo 2: Determina las intersecciones con el eje X y bosqueja la gráfica de la función:

f (x) = x³ + 1

Solución:

Ejemplo 3: Traza el bosquejo de la función f(x) = x⁴ + x² + 1

Solución:

Una de las técnicas utilizadas para factorizar polinomios de tercer grado es encontrando y combinando los factores del coeficiente de x de mayor grado y los factores del término independiente, ya que las raíces del polinomio siempre dan como producto a esos dos números, a este proceso se le llama raíces racionales.

A continuación se explica el procedimiento para encontrar las raíces de un polinomio.

Se toma como ejemplo el siguiente:

¿Qué relación observas entre el 6 y el 15? El número 6 y el 15 están relacionados con el producto de sus factores:

(2)(1)(3) = 6
(3)(1)(5) = 15

Las raíces de este polinomio se formarán combinando los factores de estos números.

Las raíces racionales que se formarán sólo pueden ser algunas de las que se construyan con estos números:

Por ejemplo, si consideramos que el denominador es 1, cada uno de estos números es una posible raíz del polinomio:

De la misma manera, si consideramos al 2 como denominador, éstas serán las posibles raíces:

Evaluando cada uno de los valores en la función original, los valores que obtuvieron una imagen igual a cero son:

La ecuación 6x³ – 7x² – 14x + 15 = 0 factorizada es

(x-1) (2x + 3) (3x – 5) = 0

Ejemplo 1: Encuentra las posibles combinaciones de raíces racionales de:

f(x) = 6x⁴ – 13x³ – 16x² + 53x – 30

Solución:

Podemos afirmar que estas técnicas nos permiten tener un acercamiento al gráfico, quizá muy cercano a la gráfica final. Más adelante aprenderás estrategias para determinar con precisión la gráfica de una función polinomial.

Comportamiento de la gráfica de una función polinomial en función de los valores que toman sus parámetros

En general, los polinopmios contienen «n) términos y, en consecuencia, mismo número de coeficientes (incluso éstos pueden valer cero). A partir de dichos coeficientes se puede describir el comportamiento de la gráfica de la función y bosquejaría.

La forma general de una función polinomial es:

Por ejemplo, en la función polinomial:

f(x) = 3x⁴ + 2x³ – x² + 2x – 3

• Grado -> 4
• Término principal -> 3x⁴
• Coeficiente principal -> 3
• Coeficiente constante -> 3

Debes tener en cuenta que en un polinomio de grado n el único coeficiente que debe ser distinto de cero es el coeficiente principal. ¿Cuál es la razón? Cualquiera de los demás coeficientes del polinomio puede ser igual a cero (caso del polinomio incompleto).

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas IV. Ciudad de México.