Secciones cónicas

El término cónica se deriva de la palabra cono, que en geometría es una figura que puede formarse a partir de una recta que se hace girar con respecto a un eje, como se muestra en la siguiente figura:

El cono circular recto doble es una superficie que se obtiene al girar la generatriz (recta generadora L) alrededor de otra recta o eje (E), manteniendo siempre el mismo ángulo de giro entre ambas rectas.

Las cónicas, o también llamadas secciones cónicas, son curvas que se forman cuando un cono doble circular recto se intersecta con un plano. Son lugares geométricos donde es constante un conjunto de todos los puntos en el plano cuya razón de distancia no dirigida a un punto y una recta fijos.

Dicha razón constante se llama excentricidad de la cónica, que se simboliza con la letra e. El punto fijo se llama eje de la cónica y la recta fija se llama directriz.

Si la directriz:

• e = 1, la cónica es una parábola
• e < 1, la cónica es una elipse
• e > 1, la cónica es una hipérbola

La recta perpendicular a la directriz que pasa por un foco de la cónica se llama eje de la cónica.

Los puntos de intersección de las dos partes del manto con el eje de la misma se denominan vértices.

La circunferencia

En muchos aspectos de la vida se puede observar la presencia de la circunferencia, por ejemplo, en las ruedas de varios tipos de transporte como la bicicleta.

La bicicleta es un ejemplo claro de lo que estudiarás en este bloque. Está formada por unos tubos que sostienen sus dos ruedas, ahí se aplican varios conceptos de geometría. Cada rueda (arco) está perfectamente formada desde un centro del cual salen los rayos (radios de la circunferencia). Al medir exactamente lo mismo forman el aro de la circunferencia, que es el diámetro. Conoceremos ahora cada uno de estos elementos.

Conforme a la Real Academia de la Lengua Española, la circunferencia es: Una curva plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes de otro, el centro, situado en el mismo plano.

Ecuación de la circunferencia en distintas formas: ordinaria, canónica, general, datos tres puntos

Forma ordinaria

Una circunferencia cuyo centro está en el punto C(h,k) y cuyo radio es r, tiene la forma:

(x – h)² + (y – k)² = r²

Esta ecuación se llama forma ordinaria o estándar de la circunferencia.

Formación canónica

Esta es la ecuación de la circunferencia en su forma canónica. Como recordarás, la extensión de una ecuación a los intervalos de valores para los que las variables x y y son números reales.

Para la ecuación x² + y² = r²

Forma general

Si desarrollamos los binomios al cuadrado en la forma ordinaria de la circunferencia, tenemos:

(x – h)² + (y – k)² = r²
x² – 2xh + h² + y² + 2yk + k² – r² = 0

y reduciendo términos semejantes, tomando los valores de h y k como números reales:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Esta ecuación es la forma general de la circunferencia. Como habrás notado, en las tres formas de la circunferencia, los coeficientes numéricos de x² y y² siempre son 1.

Dados 3 puntos

Fuente: Secretaría de Educación Pública. (2015). Matemáticas III. Ciudad de México.