Preparatoria

Teoría de conjuntos y sus aplicaciones

Introducción

El concepto de conjunto es uno de los pilares fundamentales de la Estadística y la Probabilidad, y en general de toda la Matemática. El conjunto de valores que puede tomar la variable de estudio en toda investigación estadística, así como el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento de azar que se está estudiando, son una sencilla muestra de la utilidad y necesidad de comprender la teoría de conjuntos.

Se llama conjunto a una colección o agrupación de objetos que tienen en común alguna propiedad. Tales objetos se denominan elementos o miembros del conjunto. En lo general, se representa a los conjuntos con letra mayúsculas, tales como A, B, C, D, entre otras, y a sus elementos con letras minúsculas, por ejemplo a, b, c, d, por citar algunas.

Cuando un elemento “a” pertenece a un conjunto K, se puede escribir como: a Î K, y si no pertenece se escribe como: a _ K. Cuando la relación de pertenencia se establece para varios elementos, por ejemplo: si a, b y c pertenecen a K, se puede escribir a, b y c _ K.

Se debe tener cuidado para definir un conjunto y diferenciar los elementos que lo componen, por otra parte, si el conjunto ya está establecido, se debe ser competente en distinguir si los elementos cumplen con su definición. Para ello, se pueden definir los conjuntos haciendo una lista de todos sus elementos, separándolos por comas y encerrándolos entre llaves, esta forma de hacerlo se llama método por extensión; pero si esto no es posible, entonces se debe describir aquella propiedad que satisfacen todos los elementos que le pertenece, esta manera de hacerlo se denomina método por comprensión.

A continuación se verán algunos ejemplos:

a) El conjunto de los número dígitos puede definirse por el método de extensión de la siguiente forma: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
b) Si se lanzan dos dados y se resta al mayor de los números el menor, el conjunto total de resultados, se puede expresar por extensión de la siguiente manera: {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
c) Si se desea expresar el conjunto de los números primos, se tiene una cantidad infinita de elementos, razón por la cual es imposible expresar este conjunto por el método de extensión, por tal motivo, se recurre al método de comprensión, expresando este conjunto como: { x / x es un número primo }

El cual se lee: el conjunto de los elementos “x” tales que “x” es un número primo. La línea “ / “ se lee tal que o dado que.

Cualquier conjunto que pueda expresarse por el método de extensión, también se podrá enunciar por el método de comprensión.

Relaciones y operaciones entre conjuntos

Para definir correctamente un conjunto hay que considerar las siguientes reglas:

a) El conjunto ha de estar bien definido, no debe dar cabida a confusiones como, por ejemplo, que un elemento esté y no esté en el conjunto. Debe ser preciso, por ejemplo: sea B el conjunto de los días de la semana, B = {domingo, lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado}.
b) El orden de los elementos es irrelevante. Pueden aparecer en cualquier orden, por ejemplo: sea M el conjunto de las vocales, M = {a, i, o, u, e}.

Hay otras formas de intersección, dependiendo de los conjuntos que te interesa formar. Por ejemplo, las habitantes de tu comunidad que son madres, estarán siempre dentro del conjunto de mujeres, lo cual también denota una intersección.
Si A es el conjunto de mujeres y E es el conjunto de madres. E denota a las mujeres que son madres.

Así como la suma, la resta o la multiplicación son relaciones entre números, la intersección es una relación entre conjuntos. Como ejemplo de ello, veamos lo siguiente:

Como pudiste observar, en el primer diagrama no existe ninguna persona de más de 44 años. Sería un conjunto de cero elementos que se conoce como conjunto vacío y se denota como H:0.

Veamos ahora otras relaciones entre conjuntos: la unión. Si quisiéramos saber la población que está en edad típica de cursar algún nivel educativo, podríamos sombrear los conjuntos A, B, C y D. Esto significa que la población en edad ideal de cursar algún nivel educativo es la unión del conjunto A, B, C y D y se denota como: A U B U C U D y se lee como A unión B unión C unión D, el conjunto de elementos que están en A o en B o en C o en D.

Como seguramente ya te diste cuenta, mientras que en la intersección la letra clave es “y”, en el caso de la unión, lo es la letra “o”.

Otro ejemplo sería el siguiente:

A la diferencia entre en el conjunto de los hombres casados y el conjunto de hombres que tienen hijos se le denomina diferencia de conjuntos; y se denota por: A – B. Se lee: A diferencia B o, A menos B y representa los elementos que pertenecen al conjunto A, pero no pertenecen al conjunto B.

Veamos ahora otro conjunto: la diferencia simétrica en este conjunto representan al mismo tiempo los elementos que están en A o en B, pero no en ambos, en nuestro ejemplo sería la parte de rojo y la parte de azul al mismo tiempo.

Por último, cuando los conjuntos A y B no tienen elementos en común, la diferencia A – B en el diagrama sería:

Retomemos nuestra primera actividad de aprendizaje de este bloque, donde clasificamos en el conjunto A a las mujeres, en B a los hombres, en C a los que asisten a la escuela y en D a los que hablan alguna lengua indígena. Analiza detalladamente los siguientes diagramas y explica qué representan las partes sombreadas de acuerdo con la información del párrafo anterior.

Seguramente notaste que ahora en nuestro universo lo sombreado no corresponde a los conjuntos establecidos, sino a los elementos que no pertenecen a alguno de estos conjuntos. Por ejemplo, a los elementos fuera del conjunto D se les llama complemento de D y se denota como: Dc

Teoría de la probabilidad

El mundo se rige por múltiples situaciones en las que se involucra el azar. Los eventos que involucran al ser humano o a los fenómenos naturales que caracterizan al mundo actual y a su dinámica social, no pueden ser predeterminados; es decir, no se puede saber de antemano qué resultado dentro de los posibles va a suceder. Desde la antigüedad, los juegos de azar han interesado al hombre; se sabe que el uso de las tabas es tan antiguo como la humanidad y parece ser el antecesor de los dados y de la ruleta.

El cálculo de probabilidades inició muy lentamente a formar parte del campo de las matemáticas. El primer documento conocido donde se analizan los juegos de azar en forma sistemática fue escrito por Gerolamo Cardano “Liber de ludo aleae”, alrededor de 1521. Galileo Galilei, se interesó por lo juegos de azar y escribió un folleto titulado “Sopra le scopere dei dadi” publicado en 1718. Pero la Probabilidad como teoría, se origina en la mitad del siglo XVII, asociando los trabajos de Christian Hygens, Blasie Pascal, Pierre y James Bernoulli.

Hygens se destaca por su obra: “De Ratiocinitis in ludo aleae”, primer trabajo publicado sobre juegos de azar. Posteriormente aplicó su teoría a la esperanza de vida humana. Algunos de los trabajos más importantes de James Beroulli fueron publicados póstumamente en 1713 en al obra “Ars Conjectandi” que, entre otros tópicos, contiene su teoría de las permutaciones y combinaciones, y sus escritos sobre probabilidades. Esta obra es considerada como el comienzo de la teoría de las probabilidades.

El desarrollo de los métodos analíticos de esta teoría, se deben a:

  • a) Abraham De Moivre quien publicó en 1718 su obra “Doctrine of Chances” y en 1733 “Approximato ad summan Terminorum Binomii (a+b)n in Seriem Expansi” obra que algunos consideran el descubrimiento de la curva normal.
  • b) Pierre Simon Laplace, se considera que su contribución fundamental al campo de las probabilidades y la estadística fue el desarrollo del llamado Teorema Central del Límite, publicado en 1809.
  • c) Karl Friedrich Gauss aporta dos grandes obras, una de ellas “Teoría combinationis observationum erroribus minimis obnoxia”, referente a la teoría de los mínimos cuadrados, y su trabajo con la distribución normal.

Desde la mitad del siglo XIX hasta la segunda década del siglo pasado, esta teoría fue impulsada por el trabajo de científicos rusos, entre ellos Andrei Nikolaevich Kolmogorov. Los precursores de esta escuela fueron Tchebyshev, Andréi Andréievich Markov y Aleksandr Mikhailovich Lyapunov, pero fue Kolmogorov el máximo exponente de este movimiento, éste evaluó en su primer trabajo, los estudios sobre probabilidades efectuados entre los siglos XV y XVI, apoyándose en los trabajos de Thomas Bayes.

En 1927, una vez completas sus investigaciones sobre suficiencia y condiciones necesarias de la ley de los grandes números, iniciada por James Bernoulli. En 1930 se hace eco de la Ley Fuerte de los grandes números de Cantelli y trabaja para mejorarla y generalizarla. En 1950 finaliza uno de los trabajos más importantes en Estadística

Dicho todo esto, ¡pon manos a la obra! ¿Qué es la probabilidad? Para tener una primera aproximación a este concepto, juguemos un rato:

Seguro que alguna vez has lanzado volados con tus amigos.

  • ¿Cuál es la probabilidad de obtener un sol en el primer volado?
  • ¿Cuál es la probabilidad de obtener sol en los siguientes 9 volados?
  • Ahora lanza 10 volados y anota los resultados.

Como te habrás dado cuenta, en un volado sólo hay dos posibilidades: águila o sol. Lo que significa que ambos resultados son igualmente posibles. Si es así, la probabilidad de cada evento (águila o sol) es 1 / n donde n = 2, águila o sol. Esto se llama probabilidad simple.

¿Te pareció muy fácil el ejercicio anterior? ¿Qué sucedería si en vez de dos resultados (águila o sol) tuvieras 87 canicas en una bolsa y 68 de ellas fueran verdes y el resto rojas?. Si escoges una, ¿Cuál es la probabilidad de que esta canica sea verde? Seguramente pensaste en hacer la misma operación que en el caso de los volados y te diste cuenta que el número de canicas verdes dentro de la bolsa no es el mismo que el de canicas rojas.

Entonces, ¿Cómo calcularías la probabilidad cuando los eventos no son equiprobables, es decir, cuando NO tienen la misma probabilidad? ¡Pues muy fácil! cuando los eventos no son equiprobables, la probabilidad de un evento A está dada por el número de casos posibles (número de canicas verdes) entre el número de casos totales (total de canicas).

P (A) = # de casos posibles / # total de casos. A este tipo de probabilidad se le conoce como probabilidad clásica.

A la técnica de muestreo en la que los elementos tienen la misma probabilidad de ser seleccionados se le conoce como muestreo aleatorio simple. Este tipo de muestreo se fundamenta en el siguiente esquema:

El muestreo aleatorio simple es una técnica de muestreo probabilístico en la que todos los sujetos tienen una probabilidad conocida, distinta de cero, de ser seleccionados, es una técnica que utiliza métodos aleatorios para la selección.

Un ejemplo de este tipo de muestreo son los volados. Cuando echaste los volados, probablemente no te salieron 5 águilas y 5 soles. Sin embargo, si echas más y más volados, seguramente las águilas y soles tenderían a ser 50 y 50%, aunque no exactamente en esta proporción. A esa diferencia que puede existir respecto al 50 – 50% se le llama error aleatorio o de muestreo. Como su nombre lo indica, por azar, que no implica que la muestra no sea representativa.

Fuentes: Secretaría de Educación Pública. (2015). Probabilidad y estadística I. Ciudad de México. / Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora. (2016). Probabilidad y Estadística I. Sonora, México.